Questão 5 Dados a, b, c e d números naturais, sabemos que
\frac{a}{b}<\frac{c}{d} \Leftrightarrow a d<b d
Com base nesta informação:
Na condição dada em (*), mostre que a fração \frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2} está entre a / b e c / d.

Passo 1

O enunciado dá quatro números naturais a,b,c,d tais que
\frac{a}{b}<\frac{c}{d} \qquad\Longleftrightarrow\qquad ad<bc.
Preciso mostrar que a média aritmética das duas frações,
m = \frac{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}{2},
satisfaz
\frac{a}{b}<m<\frac{c}{d}.
Para isso vou usar a propriedade de comparação de frações e multiplicação em ambos os lados por números positivos.

Passo 2

Expresso m como uma única fração. Temos
m = \frac{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}{2} = \frac{ad + bc}{2\,b\,d}.

Passo 3

Provo que m>\frac{a}{b}. A desigualdade
\frac{ad + bc}{2bd} > \frac{a}{b}
é equivalente, multiplicando ambos os lados por 2bd (positivo), a
ad\cdot b + bc\cdot b > a\cdot (2bd).
Isso é
abd + b^2c > 2abd \quad\Longleftrightarrow\quad b^2c > abd \quad\Longleftrightarrow\quad bc > ad,
que é exatamente a hipótese \frac{a}{b}<\frac{c}{d}. Logo
\frac{a}{b}<m.

Passo 4

Provo que m<\frac{c}{d}. A desigualdade
\frac{ad + bc}{2bd} < \frac{c}{d}
é equivalente, multiplicando por 2bd, a
ad\cdot d + bc\cdot d < c\cdot (2bd).
Isto é
ad^2 + bcd < 2bcd \quad\Longleftrightarrow\quad ad^2 < bcd \quad\Longleftrightarrow\quad ad < bc,
de novo a hipótese \frac{a}{b}<\frac{c}{d}. Logo
m<\frac{c}{d}.

Resposta

\frac{a}{b} < \frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2} < \frac{c}{d}.

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