Questão 3: Calcule o valor de
para uma mistura de gases contendo 2 mols de oxigênio e 3 mols de monóxido de carbono. Assuma os gases como ideais e explique suas aproximações.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o valor de
para uma mistura de gases que contém
mols de oxigênio e
mols de monóxido de carbono. As informações fornecidas e as condições são:
Foi dada a hipótese de gases ideais e pede-se também que eu explique as aproximações assumidas. A pergunta final é obter o valor numérico de
para essa mistura.
Passo 2
Entendimento físico e propriedade útil para misturas ideais: para gases ideais a energia interna e a entalpia da mistura são somas das contribuições molares de cada componente. Portanto os calores (capacidade térmica) totais a volume constante e a pressão constante da mistura são somas ponderadas pelos números de mols:
onde
é o número de mols do componente
,
e
são as capacidades molares a
e
do componente
, e
e
são as capacidades totais da amostra (não por mol da mistura). O quociente pedido é
porque
aqui corresponde ao calor específico a pressão constante por unidade de quantidade apropriada (o enunciado usa
no lugar do usual
).
Passo 3
Determinar
e
molares de cada gás usando teoria de equipartição (aplicada a temperaturas moderadas, ver aproximações depois). Para uma molécula com
graus de liberdade de movimento descritos quadraticamente, a capacidade molar a volume constante é
onde
é a constante universal dos gases (
). Já vale a relação termodinâmica geral
Agora identificar
para as moléculas dadas: tanto
quanto
são moléculas diatômicas lineares (duas átomos ligadas numa linha). Em temperatura ambiente (regime em que os modos vibracionais estão, em geral, congelados quanticamente), elas têm
graus translacionais e
graus rotacionais ativos, totalizando
Portanto as capacidades molares são
Passo 4
Calcular as capacidades totais da mistura usando
e
. Como ambos os gases têm as mesmas capacidades molares (pois ambos são diatômicos no regime considerado), o total é simplesmente o número total de mols vezes a capacidade molar:
Logo
Passo 5
Calcular
como quociente das capacidades totais:
Cancelaram-se
e o fator
. Em forma decimal isso é
Passo 6
Explicação e justificativa das aproximações usadas (importante para a prova):
- Gases ideais: assumimos que as moléculas não interagem e que o tamanho molecular é desprezível em relação ao volume. Essa aproximação é boa em pressões baixas e temperaturas moderadas (não muito próximas da liquefação).
- Equipartição e graus de liberdade: usei a equipartição para obter
. Isso é válido quando os modos de energia correspondentes têm níveis energéticos suficientemente próximos para serem excitados termicamente. Para diatômicos, as rotações estão tipicamente excitadas já à temperatura ambiente, então os 2 modos rotacionais contam. Os modos vibracionais têm energia quântica mais alta e frequentemente estão “congelados” a K, ou seja, não contribuem para nesse regime — por isso tomei e não . - Tratamento de
e como diatômicos equivalentes: embora tenham massas e constantes vibracionais diferentes, ambos apresentam o mesmo número de graus de liberdade ativos (3 translacionais + 2 rotacionais) nas condições típicas, portanto têm as mesmas capacidades molares aproximadas usadas. - Efeito da temperatura: se a temperatura fosse muito alta (ativando modos vibracionais),
aumentaria e diminuiria. Se um dos gases fosse monoatômico (ex.: hélio), os seriam diferentes e a mistura teria diferente.
Essas observações justificam a resposta numérica obtida e mostram quando a aproximação pode falhar.
Passo 7
Recapitulando de forma curta e amiga: como ambos os gases são diatômicos no regime considerado, cada mol tem
e
. A mistura com
mols no total herda essas capacidades por mol total, e o quociente dá
. Vai dar tudo certo na prova — você já sabe onde estão as aproximações e por que o número é esse!