Questão 3: Calcule o valor de \gamma=c_{s} / c_{v} para uma mistura de gases contendo 2 mols de oxigênio e 3 mols de monóxido de carbono. Assuma os gases como ideais e explique suas aproximações.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor de \gamma = c_{s}/c_{v} para uma mistura de gases que contém 2 mols de oxigênio e 3 mols de monóxido de carbono. As informações fornecidas e as condições são:
n_{\mathrm{O_2}}=2\quad\text{mol},\qquad n_{\mathrm{CO}}=3\quad\text{mol}.
Foi dada a hipótese de gases ideais e pede-se também que eu explique as aproximações assumidas. A pergunta final é obter o valor numérico de \gamma para essa mistura.

Passo 2

Entendimento físico e propriedade útil para misturas ideais: para gases ideais a energia interna e a entalpia da mistura são somas das contribuições molares de cada componente. Portanto os calores (capacidade térmica) totais a volume constante e a pressão constante da mistura são somas ponderadas pelos números de mols:
C_{v,\text{total}}=\sum_i n_i\,C_{v,i},\qquad C_{p,\text{total}}=\sum_i n_i\,C_{p,i},
onde n_i é o número de mols do componente i, C_{v,i} e C_{p,i} são as capacidades molares a V e p do componente i, e C_{v,\text{total}} e C_{p,\text{total}} são as capacidades totais da amostra (não por mol da mistura). O quociente pedido é
\gamma=\frac{c_{s}}{c_{v}}=\frac{C_{p,\text{total}}}{C_{v,\text{total}}},
porque c_s aqui corresponde ao calor específico a pressão constante por unidade de quantidade apropriada (o enunciado usa c_s no lugar do usual c_p).

Passo 3

Determinar C_{v} e C_{p} molares de cada gás usando teoria de equipartição (aplicada a temperaturas moderadas, ver aproximações depois). Para uma molécula com f graus de liberdade de movimento descritos quadraticamente, a capacidade molar a volume constante é
C_{v,\text{molar}}=\frac{f}{2}R,
onde R é a constante universal dos gases ( R\approx 8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}). Já vale a relação termodinâmica geral
C_{p,\text{molar}}=C_{v,\text{molar}}+R.
Agora identificar f para as moléculas dadas: tanto \mathrm{O_2} quanto \mathrm{CO} são moléculas diatômicas lineares (duas átomos ligadas numa linha). Em temperatura ambiente (regime em que os modos vibracionais estão, em geral, congelados quanticamente), elas têm 3 graus translacionais e 2 graus rotacionais ativos, totalizando
f=3+2=5.
Portanto as capacidades molares são
C_{v,\text{molar}}=\frac{5}{2}R,\qquad C_{p,\text{molar}}=\frac{7}{2}R.

Passo 4

Calcular as capacidades totais da mistura usando n_{\mathrm{O_2}}=2 e n_{\mathrm{CO}}=3. Como ambos os gases têm as mesmas capacidades molares (pois ambos são diatômicos no regime considerado), o total é simplesmente o número total de mols vezes a capacidade molar:
n_{\text{total}}=n_{\mathrm{O_2}}+n_{\mathrm{CO}}=2+3=5\\ \text{mol}.
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C_{v,\text{total}}=n_{\text{total}}\cdot C_{v,\text{molar}}=5\cdot\frac{5}{2}R=\frac{25}{2}R,
C_{p,\text{total}}=n_{\text{total}}\cdot C_{p,\text{molar}}=5\cdot\frac{7}{2}R=\frac{35}{2}R.

Passo 5

Calcular \gamma como quociente das capacidades totais:
\gamma=\frac{C_{p,\text{total}}}{C_{v,\text{total}}} =\frac{\tfrac{35}{2}R}{\tfrac{25}{2}R} =\frac{35}{25} =\frac{7}{5}.
Cancelaram-se R e o fator 1/2. Em forma decimal isso é
\gamma=\frac{7}{5}=1,4.

Passo 6

Explicação e justificativa das aproximações usadas (importante para a prova):
  1. Gases ideais: assumimos que as moléculas não interagem e que o tamanho molecular é desprezível em relação ao volume. Essa aproximação é boa em pressões baixas e temperaturas moderadas (não muito próximas da liquefação).
  2. Equipartição e graus de liberdade: usei a equipartição para obter C_{v}=\tfrac{f}{2}R. Isso é válido quando os modos de energia correspondentes têm níveis energéticos suficientemente próximos para serem excitados termicamente. Para diatômicos, as rotações estão tipicamente excitadas já à temperatura ambiente, então os 2 modos rotacionais contam. Os modos vibracionais têm energia quântica mais alta e frequentemente estão “congelados” a T\sim 300 K, ou seja, não contribuem para C_v nesse regime — por isso tomei f=5 e não f=7.
  3. Tratamento de \mathrm{CO} e \mathrm{O_2} como diatômicos equivalentes: embora tenham massas e constantes vibracionais diferentes, ambos apresentam o mesmo número de graus de liberdade ativos (3 translacionais + 2 rotacionais) nas condições típicas, portanto têm as mesmas capacidades molares aproximadas usadas.
  4. Efeito da temperatura: se a temperatura fosse muito alta (ativando modos vibracionais), C_v aumentaria e \gamma diminuiria. Se um dos gases fosse monoatômico (ex.: hélio), os C_v seriam diferentes e a mistura teria \gamma diferente.
    Essas observações justificam a resposta numérica obtida e mostram quando a aproximação pode falhar.

Passo 7

Recapitulando de forma curta e amiga: como ambos os gases são diatômicos no regime considerado, cada mol tem C_v=\tfrac{5}{2}R e C_p=\tfrac{7}{2}R. A mistura com 5 mols no total herda essas capacidades por mol total, e o quociente dá \gamma=\tfrac{7}{5}=1,4. Vai dar tudo certo na prova — você já sabe onde estão as aproximações e por que o número é esse!

Resposta

\gamma=\dfrac{7}{5}=1,4

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