Questão 2. Calcule o volume do conjunto dado:
\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 1 \leq z \leq e^{x+y} \};

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1,\;1\le z\le e^{x+y}\}.
Informações dadas:
  • As coordenadas x e y variam no quadrado [0,1]\times[0,1].
  • Para cada par (x,y) da base, a coordenada z varia entre \;1\; (plano inferior) e \;e^{x+y}\; (superfície superior).
  • A pergunta é: qual é o volume desse sólido?

Passo 2

Ideia básica (explicação didática do conceito usado): quando temos um sólido cuja projeção no plano xy é uma região D e, para cada (x,y)\in D, a altura vertical do sólido vai de z=g_{1}(x,y) até z=g_{2}(x,y), o volume V desse sólido é dado por
V=\iint_{D}\bigl(g_{2}(x,y)-g_{1}(x,y)\bigr)\,dA.
Por que isso vale? Pense assim: para cada ponto (x,y) tomamos uma coluna vertical de altura g_{2}(x,y)-g_{1}(x,y). A área da base infinitesimal é dA, então o volume dessa coluna é aproximadamente (g_{2}-g_{1})\,dA. Somando (integrando) sobre todo D obtemos o volume total. Esse procedimento é a ideia da integral dupla e usa o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas quando D é simples (como aqui, um retângulo).
No nosso caso:
  • D=[0,1]\times[0,1].
  • g_{2}(x,y)=e^{x+y} e g_{1}(x,y)=1.
    Portanto
V=\iint_{D}\bigl(e^{x+y}-1\bigr)\,dA.

Passo 3

Montando a integral iterada (escolhemos integrar primeiro em y, depois em x; a ordem não importa aqui porque D é retângulo):
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(e^{x+y}-1\bigr)\,dy\,dx.
Agora vamos calcular essa integral passo a passo. Lembre-se: ao integrar em y tratando x como constante, a função e^{x+y} se comporta como e^{x}\cdot e^{y}, e a primitiva em y é e^{x+y} (pois \tfrac{d}{dy}e^{x+y}=e^{x+y}). A primitiva de 1 em y é y.

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{1}\bigl(e^{x+y}-1\bigr)\,dy = \Bigl[ e^{x+y}-y \Bigr]_{y=0}^{y=1}.
Avalie nos limites:
\Bigl(e^{x+1}-1\Bigr)-\Bigl(e^{x+0}-0\Bigr)=e^{x+1}-1-e^{x}.
Factorizando e^{x} ficamos com
e^{x+1}-1-e^{x}=e^{x}(e-1)-1.
Portanto a integral dupla ficou reduzida a uma integral em x:
V=\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}(e-1)-1\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora integramos em x. Separe os termos:
V=(e-1)\int_{0}^{1}e^{x}\,dx-\int_{0}^{1}1\,dx.
Calcule as primitivas:
  • \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x}.
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
    Aplique os limites 0 a 1:
(e-1)\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1}-\bigl[x\bigr]_{0}^{1} =(e-1)(e^{1}-e^{0})-(1-0).
Como e^{1}=e e e^{0}=1, isso dá
V=(e-1)(e-1)-1=(e-1)^{2}-1.

Passo 6

Simplifique a expressão final:
(e-1)^{2}-1 = e^{2}-2e+1-1 = e^{2}-2e.
Se quiser conferir numericamente: e^{2}\approx 7{,}389 e 2e\approx 5{,}436, então V\approx 1{,}953, um número positivo — tranquilo, faz sentido físico.
Dica prática para a prova: sempre identifique primeiro a projeção no plano xy (a base). Se a região é entre duas superfícies z= algo, use a fórmula \iint_{D}(z_{\text{top}}-z_{\text{bottom}})\,dA. Integre na ordem que for mais simples; aqui integrar e^{x+y} separando e^{x}e^{y} facilita porque as integrais em x e y se separam.

Resposta

e^{2}-2e

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