Questão 2. Calcule o volume do conjunto dado:
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto
Informações dadas:
- As coordenadas
e variam no quadrado . - Para cada par
da base, a coordenada varia entre (plano inferior) e (superfície superior). - A pergunta é: qual é o volume desse sólido?
Passo 2
Ideia básica (explicação didática do conceito usado): quando temos um sólido cuja projeção no plano
é uma região
e, para cada
, a altura vertical do sólido vai de
até
, o volume
desse sólido é dado por
Por que isso vale? Pense assim: para cada ponto
tomamos uma coluna vertical de altura
. A área da base infinitesimal é
, então o volume dessa coluna é aproximadamente
. Somando (integrando) sobre todo
obtemos o volume total. Esse procedimento é a ideia da integral dupla e usa o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas quando
é simples (como aqui, um retângulo).
No nosso caso:
-
. -
e .
Portanto
Passo 3
Montando a integral iterada (escolhemos integrar primeiro em
, depois em
; a ordem não importa aqui porque
é retângulo):
Agora vamos calcular essa integral passo a passo. Lembre-se: ao integrar em
tratando
como constante, a função
se comporta como
, e a primitiva em
é
(pois
). A primitiva de
em
é
.
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
Avalie nos limites:
Factorizando
ficamos com
Portanto a integral dupla ficou reduzida a uma integral em
:
Passo 5
Agora integramos em
. Separe os termos:
Calcule as primitivas:
-
. -
.
Aplique os limitesa :
Como
e
, isso dá
Passo 6
Simplifique a expressão final:
Se quiser conferir numericamente:
e
, então
, um número positivo — tranquilo, faz sentido físico.
Dica prática para a prova: sempre identifique primeiro a projeção no plano
(a base). Se a região é entre duas superfícies
algo, use a fórmula
. Integre na ordem que for mais simples; aqui integrar
separando
facilita porque as integrais em
e
se separam.