Questão 2. Calcule o volume do conjunto
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 2,1 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq \sqrt{x y}\right\}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 0\le x\le2,\;1\le y\le2,\;0\le z\le\sqrt{xy}\}
e pede o volume desse sólido. O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla e Teorema de Fubini, ou seja, vamos escrever o volume como integral iterada e calcular passo a passo.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever o volume V como
V=\int_{x=0}^{2}\int_{y=1}^{2}\int_{z=0}^{\sqrt{xy}}dz\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{z=0}^{\sqrt{xy}}dz = \sqrt{xy}.
Logo
V=\int_{0}^{2}\int_{1}^{2}\sqrt{xy}\,dy\,dx.

Passo 4

Note que \sqrt{xy}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}. Assim podemos separar as integrais em x e y:
V=\int_{0}^{2}\sqrt{x}\,dx \;\times\;\int_{1}^{2}\sqrt{y}\,dy.

Passo 5

Calculamos cada integral:
Para x:
\int_{0}^{2}\sqrt{x}\,dx =\int_{0}^{2}x^{1/2}\,dx =\Bigl[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\Bigr]_{0}^{2} =\tfrac{2}{3}\,2^{3/2} =\tfrac{4\sqrt{2}}{3}.
Para y:
\int_{1}^{2}\sqrt{y}\,dy =\int_{1}^{2}y^{1/2}\,dy =\Bigl[\tfrac{2}{3}y^{3/2}\Bigr]_{1}^{2} =\tfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) =\tfrac{2}{3}(2\sqrt{2}-1).
Multiplicando os resultados:
V =\frac{4\sqrt{2}}{3}\;\times\;\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1) =\frac{8\sqrt{2}}{9}(2\sqrt{2}-1) =\frac{32-8\sqrt{2}}{9} =\frac{8(4-\sqrt{2})}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{8(4-\sqrt{2})}{9}

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