Seja
a sequência definida por
. Mostre, pela definição de convergência de sequência, que
converge para
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar, usando a definição de convergência de sequência, que
converge para
. O conteúdo aqui é aplicar rigorosamente a noção de “para todo
existe
tal que, para todo
,
”.
Passo 2
Segundo a definição de limite de sequência, devemos provar que:
para todo existe um
tal que, se
, então
para todo
Passo 3
Observe que, para todo
, temos
. Assim,
Para garantir
, basta então ter
Passo 4
A desigualdade
é equivalente a
Logo, basta escolher
Com esse
, para todo
temos
e, portanto,
Passo 5
Concluímos que, dado qualquer
, existe
(por exemplo
) tal que, para todo
,
. Isso mostra, pela definição, que
Resposta
A sequência
converge para
.