Seja \left(x_{n}\right) a sequência definida por x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+1}. Mostre, pela definição de convergência de sequência, que \left(x_{n}\right) converge para \mathbf{0}(2,0)

Passo 1

O enunciado define a sequência
x_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}+1}
e pede para mostrar, usando a definição de convergência de sequência, que x_{n} converge para 0. O conteúdo aqui é aplicar rigorosamente a noção de “para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, \lvert x_{n}-0\rvert<\varepsilon”.

Passo 2

Segundo a definição de limite de sequência, devemos provar que:
para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, se n\ge N, então
\lvert x_{n}-0\rvert = \lvert x_{n}\rvert < \varepsilon.

Passo 3

Observe que, para todo n\ge1, temos \sqrt{n}+1>\sqrt{n}. Assim,
\lvert x_{n}\rvert = \frac{1}{\sqrt{n}+1} < \frac{1}{\sqrt{n}}.
Para garantir \lvert x_{n}\rvert<\varepsilon, basta então ter
\frac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon.

Passo 4

A desigualdade \tfrac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon é equivalente a
\sqrt{n} > \frac{1}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{1}{\varepsilon^{2}}.
Logo, basta escolher
N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon^{2}} \right\rceil.
Com esse N, para todo n\ge N temos n\ge1/\varepsilon^{2} e, portanto,
\lvert x_{n}\rvert < \frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{1/\varepsilon^{2}}} = \varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, dado qualquer \varepsilon>0, existe N (por exemplo \lceil1/\varepsilon^{2}\rceil) tal que, para todo n\ge N, \lvert x_{n}-0\rvert<\varepsilon. Isso mostra, pela definição, que
\lim_{n\to\infty}x_{n} = 0.

Resposta

A sequência \bigl(x_{n}\bigr) converge para 0.

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