QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos (x) d x
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} e^{x}\cos(x)\,dx.
Informações dadas:
  • É uma integral definida com limite inferior 0 e limite superior \pi.
  • A função integrada é e^{x}\cos(x).
    O que precisamos obter: o valor numérico (exato) dessa integral e justificativa do cálculo.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou explicar direitinho porque e como usar. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u e dv de modo que \int v\,du seja mais simples que a integral original.
No nosso caso a integral envolve e^{x} e \cos x. Uma escolha natural para começar é separar e^{x} como parte de dv porque a primitiva de e^{x} é simples (é ela mesma), e escolher \cos x como u, porque ao derivar \cos x obtemos -\sin x, que nos levará a uma outra integral parecida — isso permite usar o truque de repetir a integração por partes e resolver por álgebra.

Passo 3

Definimos a integral indefinida (para facilitar os passos):
I=\int e^{x}\cos x\,dx.
Escolhemos
u=\cos x,\qquad dv=e^{x}dx.
Então
du = -\sin x\,dx,\qquad v=\int e^{x}dx = e^{x}.
Aplicando a fórmula da integração por partes:
I = uv - \int v\,du = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx.
Chamemos
J=\int e^{x}\sin x\,dx.
Assim obtemos
I = e^{x}\cos x + J.

Passo 4

Agora calculamos J também por partes. Tomamos
u=\sin x,\qquad dv = e^{x}dx,
de modo que
du=\cos x\,dx,\qquad v=e^{x}.
Aplicando integração por partes em J:
J = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\sin x - I.
Substituindo essa expressão na relação do Passo 3 ( I = e^{x}\cos x + J), obtemos
I = e^{x}\cos x + \bigl(e^{x}\sin x - I\bigr).
Agrupando os termos com I:
I + I = e^{x}\cos x + e^{x}\sin x,
portanto
2I = e^{x}(\cos x + \sin x).
Logo a primitiva geral é
I = \frac{e^{x}(\cos x + \sin x)}{2} + C,
onde C é a constante de integração. (Se quiser, você pode checar derivando essa expressão para ver que volta para e^{x}\cos x: isso confirma que a antiderivada está correta.)

Passo 5

Agora aplicamos o resultado à integral definida. A antiderivada escolhida é
F(x)=\frac{e^{x}(\cos x + \sin x)}{2}.
Então
\int_{0}^{\pi} e^{x}\cos x\,dx = F(\pi) - F(0).
Calculamos F(\pi) e F(0). Sabemos que \cos\pi = -1, \sin\pi=0, \cos 0 = 1, \sin 0 = 0. Assim
F(\pi)=\frac{e^{\pi}(\cos\pi+\sin\pi)}{2}=\frac{e^{\pi}(-1+0)}{2}=-\frac{e^{\pi}}{2},
F(0)=\frac{e^{0}(\cos 0+\sin 0)}{2}=\frac{1\cdot(1+0)}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\int_{0}^{\pi} e^{x}\cos x\,dx = \left(-\frac{e^{\pi}}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{e^{\pi}+1}{2}.

Resposta

-\frac{e^{\pi}+1}{2}

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