QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Calcule a integral:
Justifique sua resposta.
Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- É uma integral definida com limite inferior
e limite superior . - A função integrada é
.
O que precisamos obter: o valor numérico (exato) dessa integral e justificativa do cálculo.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou explicar direitinho porque e como usar. A fórmula da integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. A ideia é escolher
e
de modo que
seja mais simples que a integral original.
No nosso caso a integral envolve
e
. Uma escolha natural para começar é separar
como parte de
porque a primitiva de
é simples (é ela mesma), e escolher
como
, porque ao derivar
obtemos
, que nos levará a uma outra integral parecida — isso permite usar o truque de repetir a integração por partes e resolver por álgebra.
Passo 3
Definimos a integral indefinida (para facilitar os passos):
Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Chamemos
Assim obtemos
Passo 4
Agora calculamos
também por partes. Tomamos
de modo que
Aplicando integração por partes em
:
Substituindo essa expressão na relação do Passo 3 (
), obtemos
Agrupando os termos com
:
portanto
Logo a primitiva geral é
onde
é a constante de integração. (Se quiser, você pode checar derivando essa expressão para ver que volta para
: isso confirma que a antiderivada está correta.)
Passo 5
Agora aplicamos o resultado à integral definida. A antiderivada escolhida é
Então
Calculamos
e
. Sabemos que
,
,
,
. Assim
Portanto
Resposta
-\frac{e^{\pi}+1}{2}