QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Encontre o limite, se existir:
Encontre o limite, se existir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor do seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
- A função a estudar é
. - O ponto onde fazemos o limite é
. - Precisamos verificar se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar seu valor.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: reescrever
usando uma identidade trigonométrica conhecida. A identidade de meia-ângulo diz que
Essa identidade vem da fórmula
. Vou usar essa forma porque transforma o numerador em um quadrado de seno, que combina bem com
do denominador.
Passo 3
Substituindo a identidade no numerador, a expressão do limite fica
Passo 4
Agora use outra identidade trigonométrica simples: a fórmula da função seno em termos de meia-ângulo,
Substituindo isso no denominador da expressão do passo anterior obtemos, para
,
Passo 5
Observação importante sobre a simplificação: ao dividir por
removemos a possibilidade
na álgebra, mas isso é permitido porque o cálculo do limite considera valores de
próximos de
mas distintos de
. Portanto podemos trabalhar com a expressão simplificada quando avaliamos o limite.
Passo 6
Temos então
Usando as leis de limite (se os limites das partes existem e o limite do denominador é diferente de zero, podemos dividir), calculamos separadamente:
Portanto
Passo 7
Comentário pedagógico rápido (reforço): outra maneira de ver isso seria aproximar seno e cosseno por suas expansões para pequenos
:
e
. Então
quando
. Isso confirma o resultado anterior por um método alternativo.