QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
Encontre o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do seguinte limite quando x se aproxima de 0:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}\right).
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
  • A função a estudar é \dfrac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}.
  • O ponto onde fazemos o limite é x=0.
  • Precisamos verificar se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar seu valor.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: reescrever 1-\cos x usando uma identidade trigonométrica conhecida. A identidade de meia-ângulo diz que
1-\cos x = 2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Essa identidade vem da fórmula \cos x = 1-2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right). Vou usar essa forma porque transforma o numerador em um quadrado de seno, que combina bem com \sin x do denominador.

Passo 3

Substituindo a identidade no numerador, a expressão do limite fica
\frac{1-\cos x}{\sin x} = \frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin x}.

Passo 4

Agora use outra identidade trigonométrica simples: a fórmula da função seno em termos de meia-ângulo,
\sin x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo isso no denominador da expressão do passo anterior obtemos, para x\neq 0,
\frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin x} = \frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.

Passo 5

Observação importante sobre a simplificação: ao dividir por \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) removemos a possibilidade x=0 na álgebra, mas isso é permitido porque o cálculo do limite considera valores de x próximos de 0 mas distintos de 0. Portanto podemos trabalhar com a expressão simplificada quando avaliamos o limite.

Passo 6

Temos então
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Usando as leis de limite (se os limites das partes existem e o limite do denominador é diferente de zero, podemos dividir), calculamos separadamente:
\lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)=\sin(0)=0, \qquad \lim_{x\to 0}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=\cos(0)=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{0}{1}=0.

Passo 7

Comentário pedagógico rápido (reforço): outra maneira de ver isso seria aproximar seno e cosseno por suas expansões para pequenos x: \sin x\approx x e \cos x\approx 1-\dfrac{x^2}{2}. Então
\frac{1-\cos x}{\sin x}\approx\frac{\dfrac{x^2}{2}}{x}=\frac{x}{2}\to 0
quando x\to 0. Isso confirma o resultado anterior por um método alternativo.

Resposta

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