QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o volume de uma cunha gerada a partir do corte de um cilindro por dois planos. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro plano é inclinado a 30^{\circ} \mathrm{em} relação ao primeiro plano. Ambos os planos se interceptam ao longo do diâmetro do cilindro. 0 cilindro tem diâmetro de 8 unidades de comprimento (uc).
Assinale a alternativa correta.
(a) 64 / \sqrt{3} \mathrm{uc}^{3}
(b) 128 /(3 \sqrt{3}) \mathrm{uc}^{3}
(c) 16 \pi / 3 \mathrm{uc}^{3}
(d) 73,9 \mathrm{uc}^{3}
(e) nenhuma das alternativas anteriores.
Justifique sua resposta na área quadriculada.

Passo 1

O enunciado pede o volume da cunha obtida ao cortar um cilindro por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro. Informações dadas:
  • Diâmetro do cilindro: 8 unidades de comprimento (uc), portanto raio R=4 uc.
  • Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. Vou chamar esse plano de P_1 e tomar P_1 como o plano \,z=0\,.
  • O outro plano, P_2, é inclinado em 30^\circ em relação a P_1.
  • Ambos os planos se interceptam ao longo de um diâmetro do cilindro (essa reta de interseção passa pelo centro do círculo de seção z=0 e é um diâmetro).
    O que se pede: o volume da região do cilindro que fica entre os planos P_1 e P_2 — ou seja, a cunha entre esses dois cortes.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas (motivo prático): coloco o eixo do cilindro ao longo de z e a seção circular no plano \,z=0 dada por
x^{2}+y^{2}\le R^{2},\qquad R=4.
Posiciono a reta de interseção (o diâmetro) como a reta \{x=0,\;z=0,\; -4\le y\le 4\} (ou seja, o diâmetro paralelo ao eixo y no plano z=0). Assim o outro plano P_2, inclinado 30^\circ em relação a P_1, pode ser escolhido com equação
z = x\tan(30^\circ).
Explicação curta: esse plano passa por todos os pontos com x e y variando e altitude linear em x; na reta x=0,\\ z=0 (com qualquer y) temos a interseção — é o diâmetro dado.

Passo 3

Identificação da região cuja volume queremos calcular.
  • Em cada ponto (x,y) do disco base D=\{x^{2}+y^{2}\le R^{2}\} a altura entre os planos P_1 e P_2 é
h(x,y)=\bigl|x\tan(30^\circ)-0\bigr|=|x|\tan(30^\circ).
  • A expressão acima dá a espessura entre os dois planos; porém a cunha “entre os planos” que normalmente se entende é a porção de um lado do diâmetro (isto é, a parte do cilindro que fica entre P_1 e P_2 para x\ge0, supondo que P_2 sobe para x>0). Para esse entendimento tomamos a altura positiva
h(x,y)=x\tan(30^\circ)\quad\text{para }x\ge0.
Portanto o volume da cunha é
V=\iint_{D_{+}} x\tan(30^\circ)\,dA,
onde D_{+}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2},\\ x\ge0\} é o semicírculo com x\ge0.

Passo 4

Troca para coordenadas polares — lembrando a regra e o jacobiano.
  • Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
  • A região D_{+} corresponde a \;0\le r\le R\; e -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} (metade do disco com x\ge0).
    Logo
V=\tan(30^\circ)\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{R} (r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta.
Aqui cada passo: substituí x=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Cálculo das integrais (faço por partes, devagarzinho).
  • Primeiro avalio a integral em r:
\int_{0}^{R} r\cos\theta\cdot r\,dr=\cos\theta\int_{0}^{R} r^{2}\,dr =\cos\theta\cdot\frac{R^{3}}{3}.
  • Agora a integral em \theta:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})=1-(-1)=2.
  • Combinando tudo:
V=\tan(30^\circ)\cdot \frac{R^{3}}{3}\cdot 2 = \frac{2R^{3}}{3}\tan(30^\circ).

Passo 6

Substituição dos valores numéricos e simplificação final.
  • R=4, logo R^{3}=64.
  • \tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
    Assim
V=\frac{2\cdot 64}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{128}{3\sqrt{3}}\\ \mathrm{uc}^{3}.

Resposta

(b) \displaystyle \frac{128}{3\sqrt{3}}\\ \mathrm{uc}^{3}

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