QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o volume de uma cunha gerada a partir do corte de um cilindro por dois planos. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro plano é inclinado a 30^{\circ} \mathrm{em} relação ao primeiro plano. Ambos os planos se interceptam ao longo do diâmetro do cilindro. 0 cilindro tem diâmetro de 8 unidades de comprimento (uc).
O enunciado pede o volume da cunha obtida ao cortar um cilindro por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro. Informações dadas:
Diâmetro do cilindro: 8 unidades de comprimento (uc), portanto raio R=4 uc.
Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. Vou chamar esse plano de P_1 e tomar P_1 como o plano \,z=0\,.
O outro plano, P_2, é inclinado em 30^\circ em relação a P_1.
Ambos os planos se interceptam ao longo de um diâmetro do cilindro (essa reta de interseção passa pelo centro do círculo de seção z=0 e é um diâmetro).
O que se pede: o volume da região do cilindro que fica entre os planos P_1 e P_2 — ou seja, a cunha entre esses dois cortes.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas (motivo prático): coloco o eixo do cilindro ao longo de z e a seção circular no plano \,z=0 dada por
x^{2}+y^{2}\le R^{2},\qquad R=4.
Posiciono a reta de interseção (o diâmetro) como a reta \{x=0,\;z=0,\; -4\le y\le 4\} (ou seja, o diâmetro paralelo ao eixo y no plano z=0). Assim o outro plano P_2, inclinado 30^\circ em relação a P_1, pode ser escolhido com equação
z = x\tan(30^\circ).
Explicação curta: esse plano passa por todos os pontos com x e y variando e altitude linear em x; na reta x=0,\\ z=0 (com qualquer y) temos a interseção — é o diâmetro dado.
Passo 3
Identificação da região cuja volume queremos calcular.
Em cada ponto (x,y) do disco base D=\{x^{2}+y^{2}\le R^{2}\} a altura entre os planos P_1 e P_2 é
A expressão acima dá a espessura entre os dois planos; porém a cunha “entre os planos” que normalmente se entende é a porção de um lado do diâmetro (isto é, a parte do cilindro que fica entre P_1 e P_2 para x\ge0, supondo que P_2 sobe para x>0). Para esse entendimento tomamos a altura positiva
h(x,y)=x\tan(30^\circ)\quad\text{para }x\ge0.
Portanto o volume da cunha é
V=\iint_{D_{+}} x\tan(30^\circ)\,dA,
onde D_{+}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2},\\ x\ge0\} é o semicírculo com x\ge0.
Passo 4
Troca para coordenadas polares — lembrando a regra e o jacobiano.
Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
A região D_{+} corresponde a \;0\le r\le R\; e -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} (metade do disco com x\ge0).
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