QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+c x}-1}{x}, onde c é uma constante diferente de zero.
Assinale a alternativa correta.
(a) - 1
(b) -\infty
(c) \mathrm{c} / 3
(d) c
(e) nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+c x}-1}{x},
onde c é uma constante diferente de zero. As alternativas são:
(a) -1
(b) -\infty
(c) c/3
(d) c
(e) nenhuma das anteriores.
Informações relevantes: temos uma raiz cúbica \sqrt[3]{\cdot}, uma constante c\neq 0 e a variável x tende a 0. O objetivo é calcular esse limite e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Uma ideia prática é fazer uma substituição simples para eliminar o c junto de x. Defina u = c x. Como c é constante não nula, quando x\to 0 temos u\to 0. Vamos reescrever a expressão do limite em termos de u. Note que x = u/c. Substituindo,
\frac{\sqrt[3]{1+c x}-1}{x} = \frac{\sqrt[3]{1+u}-1}{u/c} = c\cdot\frac{\sqrt[3]{1+u}-1}{u}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+c x}-1}{x} = c\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+u}-1}{u},
se o limite interior existir.

Passo 3

Agora precisamos calcular o limite
L:=\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+u}-1}{u}.
Vou mostrar uma técnica elementar e rigorosa para esse tipo de expressão envolvendo raiz cúbica: usar a identidade da diferença de cubos. Seja
a=\sqrt[3]{1+u},
ou seja a^3=1+u. Repare que
u = a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1).

Passo 4

A partir da identidade anterior, isolamos (a-1) que é exatamente o numerador da nossa fração, pois a-1=\sqrt[3]{1+u}-1. Assim
\frac{\sqrt[3]{1+u}-1}{u} = \frac{a-1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{1}{a^2+a+1},
sempre que a\neq 1. Essa igualdade é algebraica e válida para u próximo de zero (onde a está próximo de 1).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando u\to 0. Como a=\sqrt[3]{1+u}, quando u\to 0 temos a\to 1. Aplicando isso na expressão encontrada,
L=\lim_{u\to 0}\frac{1}{a^2+a+1}=\frac{1}{1^2+1+1}=\frac{1}{3}.
Portanto o limite interior vale 1/3.

Passo 6

Voltando ao limite original, lembramos que ele era c vezes o limite que acabamos de achar. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+c x}-1}{x}=c\cdot L = c\cdot\frac{1}{3}=\frac{c}{3}.

Passo 7

Concluímos que o valor do limite é \dfrac{c}{3}. Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) \dfrac{c}{3}

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