QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Calcule
, onde c é uma constante diferente de zero.
Assinale a alternativa correta.
(a) - 1
(b)
(c)
(d) c
(e) nenhuma das alternativas anteriores.
Calcule
Assinale a alternativa correta.
(a) - 1
(b)
(c)
(d) c
(e) nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
onde
é uma constante diferente de zero. As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) nenhuma das anteriores.
Informações relevantes: temos uma raiz cúbica , uma constante
e a variável
tende a
. O objetivo é calcular esse limite e escolher a alternativa correta.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) nenhuma das anteriores.
Informações relevantes: temos uma raiz cúbica
Passo 2
Uma ideia prática é fazer uma substituição simples para eliminar o
junto de
. Defina
. Como
é constante não nula, quando
temos
. Vamos reescrever a expressão do limite em termos de
. Note que
. Substituindo,
Portanto
se o limite interior existir.
Passo 3
Agora precisamos calcular o limite
Vou mostrar uma técnica elementar e rigorosa para esse tipo de expressão envolvendo raiz cúbica: usar a identidade da diferença de cubos. Seja
ou seja
. Repare que
Passo 4
A partir da identidade anterior, isolamos
que é exatamente o numerador da nossa fração, pois
. Assim
sempre que
. Essa igualdade é algebraica e válida para
próximo de zero (onde
está próximo de
).
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Como
, quando
temos
. Aplicando isso na expressão encontrada,
Portanto o limite interior vale
.
Passo 6
Voltando ao limite original, lembramos que ele era
vezes o limite que acabamos de achar. Logo
Passo 7
Concluímos que o valor do limite é
. Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (c).
Resposta
(c)