QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função
com relação à
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada de
com relação a
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
1) A função é uma potência (expoente
) cujo “núcleo” é a fração
.
2) O denominador impõe a restrição de domínio
, ou seja
.
Passo 2
Vamos simplificar a escrita definindo uma função auxiliar. Seja
Assim podemos reescrever
como
Fazer essa substituição deixa claro que precisamos aplicar a regra da cadeia: derivar uma potência composta.
Passo 3
Apresentando a regra da cadeia para potências: se temos uma função
com
constante, então
Aqui:
é o expoente (número),
é a função interna e
é a derivada dessa função interna. Exemplo simples para fixar: a derivada de
é
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à nossa função, com
e
definido acima, obtemos
Substituindo
fica
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Como
é uma razão de duas funções, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
então
No nosso caso
e
. Calculamos as derivadas:
Aplicando a fórmula:
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 6
Voltamos para
e substituímos
:
Multiplicamos os coeficientes
e
e combinamos as potências do denominador:
Reescrevendo a potência da fração como potências separadas e somando os expoentes no denominador:
Passo 7
Conclusão: a derivada simplificada — válida para
— é o resultado obtido ao combinar os passos anteriores. Força aí: você já sabe aplicar regra da cadeia e do quociente, e a simplificação final é só álgebra de potências.