QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)

Determine a derivada da função g(x) com relação à x. Justifique sua resposta.
g(x)=\left(\frac{2 x+1}{3 x-1}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de g(x) com relação a x. A função dada é
g(x)=\left(\frac{2x+1}{3x-1}\right)^{4}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\; 1) A função é uma potência (expoente 4) cujo “núcleo” é a fração \frac{2x+1}{3x-1}.
\; 2) O denominador impõe a restrição de domínio 3x-1\neq0, ou seja x\neq \tfrac{1}{3}.

Passo 2

Vamos simplificar a escrita definindo uma função auxiliar. Seja
u(x)=\frac{2x+1}{3x-1}.
Assim podemos reescrever g como
g(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{4}.
Fazer essa substituição deixa claro que precisamos aplicar a regra da cadeia: derivar uma potência composta.

Passo 3

Apresentando a regra da cadeia para potências: se temos uma função g(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n} com n constante, então
g'(x)=n\bigl(u(x)\bigr)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui: n é o expoente (número), u(x) é a função interna e u'(x) é a derivada dessa função interna. Exemplo simples para fixar: a derivada de \bigl(x^{2}+1\bigr)^{3} é
3\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}\cdot 2x=6x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função, com n=4 e u(x) definido acima, obtemos
g'(x)=4\bigl(u(x)\bigr)^{3}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\dfrac{2x+1}{3x-1} fica
g'(x)=4\left(\frac{2x+1}{3x-1}\right)^{3}\cdot u'(x).

Passo 5

Agora precisamos calcular u'(x). Como u(x) é uma razão de duas funções, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz: se u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
u'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{\bigl(q(x)\bigr)^{2}}.
No nosso caso p(x)=2x+1 e q(x)=3x-1. Calculamos as derivadas:
p'(x)=2,\qquad q'(x)=3.
Aplicando a fórmula:
u'(x)=\frac{2\cdot(3x-1)-(2x+1)\cdot3}{(3x-1)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
2\cdot(3x-1)=6x-2,
(2x+1)\cdot3=6x+3,
6x-2-(6x+3)=6x-2-6x-3=-5.
Portanto
u'(x)=-\frac{5}{(3x-1)^{2}}.

Passo 6

Voltamos para g'(x) e substituímos u'(x):
g'(x)=4\left(\frac{2x+1}{3x-1}\right)^{3}\cdot\left(-\frac{5}{(3x-1)^{2}}\right).
Multiplicamos os coeficientes 4 e -5 e combinamos as potências do denominador:
g'(x)=-20\left(\frac{2x+1}{3x-1}\right)^{3}\cdot\frac{1}{(3x-1)^{2}}.
Reescrevendo a potência da fração como potências separadas e somando os expoentes no denominador:
\left(\frac{2x+1}{3x-1}\right)^{3}\cdot\frac{1}{(3x-1)^{2}}=\frac{(2x+1)^{3}}{(3x-1)^{3}}\cdot\frac{1}{(3x-1)^{2}}=\frac{(2x+1)^{3}}{(3x-1)^{5}}.

Passo 7

Conclusão: a derivada simplificada — válida para x\neq \tfrac{1}{3} — é o resultado obtido ao combinar os passos anteriores. Força aí: você já sabe aplicar regra da cadeia e do quociente, e a simplificação final é só álgebra de potências.

Resposta

g'(x)=-20\frac{(2x+1)^{3}}{(3x-1)^{5}}

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