QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Pedido: determinar o valor numérico de
e justificar o cálculo.
Passo 2
Vamos reescrever o integrando de forma mais conveniente usando uma substituição simples. Definimos a nova variável
Aqui a ideia é transformar a raiz
numa potência de
mais direta. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
ou seja,
pode ser substituído por
. Também trocamos os limites de integração: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 3
Agora expressamos todo o integrando em função de
. Temos
e
. Então
Substituindo na integral e trocando
por
e os limites por
e
, obtemos
Passo 4
Para integrar termos da forma
usamos a regra básica das potências:
Aplicando essa regra aos dois termos: para
temos
, então a primitiva é
Para
temos
, então a primitiva é
Logo uma primitiva de
é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Passo 5
Vamos calcular
e
passo a passo. Primeiro as potências:
Então
Para somar/subtrair frações colocamos denominador comum
:
portanto
Agora
:
Colocando em denominador
:
Finalmente