QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)

Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
I=\int_{0}^{3} x \cdot(\sqrt{1+x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=\int_{0}^{3} x\cdot(\sqrt{1+x})\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: } x\cdot\sqrt{1+x},\qquad \text{limites: } x=0 \text{ a } x=3.
Pedido: determinar o valor numérico de I e justificar o cálculo.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando de forma mais conveniente usando uma substituição simples. Definimos a nova variável
u=1+x.
Aqui a ideia é transformar a raiz \sqrt{1+x} numa potência de u mais direta. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du=dx,
ou seja, dx pode ser substituído por du. Também trocamos os limites de integração: quando x=0 temos u=1; quando x=3 temos u=4.

Passo 3

Agora expressamos todo o integrando em função de u. Temos x=u-1 e \sqrt{1+x}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Então
x\cdot\sqrt{1+x}=(u-1)\,u^{1/2}=u^{3/2}-u^{1/2}.
Substituindo na integral e trocando dx por du e os limites por u=1 e u=4, obtemos
I=\int_{1}^{4}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Para integrar termos da forma u^{n} usamos a regra básica das potências:
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{(para }n\neq -1\text{)}.
Aplicando essa regra aos dois termos: para u^{3/2} temos n=3/2, então a primitiva é
\frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}u^{5/2}.
Para u^{1/2} temos n=1/2, então a primitiva é
\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo uma primitiva de u^{3/2}-u^{1/2} é
F(u)=\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
I=F(4)-F(1).

Passo 5

Vamos calcular F(4) e F(1) passo a passo. Primeiro as potências:
4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32,\qquad 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.
Então
F(4)=\frac{2}{5}\cdot 32-\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{64}{5}-\frac{16}{3}.
Para somar/subtrair frações colocamos denominador comum 15:
\frac{64}{5}=\frac{64\cdot 3}{15}=\frac{192}{15},\qquad \frac{16}{3}=\frac{16\cdot 5}{15}=\frac{80}{15},
portanto
F(4)=\frac{192}{15}-\frac{80}{15}=\frac{112}{15}.
Agora F(1):
F(1)=\frac{2}{5}\cdot 1^{5/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\frac{2}{5}-\frac{2}{3}.
Colocando em denominador 15:
\frac{2}{5}=\frac{6}{15},\qquad \frac{2}{3}=\frac{10}{15},\qquad F(1)=\frac{6}{15}-\frac{10}{15}=-\frac{4}{15}.
Finalmente
I=F(4)-F(1)=\frac{112}{15}-\Bigl(-\frac{4}{15}\Bigr)=\frac{112}{15}+\frac{4}{15}=\frac{116}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{116}{15}

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