Questão 2 - Cálculo de integrais definidas e indefinidas
  1. Se g(x)=integralx^x^2 ln t d t, calcule g^prime(x)

Passo 1

O enunciado define
g(x) = integralx^x^2 ln t , dt
e pede g'(x). O conteúdo aqui é a regra de Leibniz para derivada de integral com limites que dependem de x.

Passo 2

Pela regra de Leibniz, se
G(x) = integrala(x)^b(x) f(t),dt,
então
G'(x) = fl(b(x)r),b'(x) - fl(a(x)r),a'(x)
No nosso caso f(t)=ln t, a(x)=x e b(x)=x^2.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
g'(x) = lnl(x^2r),ddx(x^2) ;-; ln(x),ddx(x)
Como ddx(x^2)=2x e ddx(x)=1, temos
g'(x) = lnl(x^2r),2x ;-; ln(x)

Passo 4

Para simplificar, use ln(x^2)=2ln(x) (válido para x>0):
g'(x) = 2xcdot 2ln(x) ;-; ln(x) = 4xln(x) - ln(x) = l(4x - 1r)ln(x)

Resposta

g'(x) = l(4x - 1r)ln(x), x>0

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