Sejam f, g e h funções deriváveis tais que as operações em cada item são válidas. Determine
[(f+lambda g) circ h]^prime(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de l((f+lambda g)circ hr)(x). Para isso vamos usar dois resultados principais do cálculo diferencial: a regra da soma com constante e a regra da cadeia, já que temos uma soma de funções composta com h.

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra da soma com constante: se definirmos F(t)=f(t)+lambda g(t), então
F'(t)=f'(t)+lambda,g'(t)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para a composição F(h(x)). A regra da cadeia diz que
ddxl(F(h(x))r)=F'l(h(x)r)cdot h'(x)

Passo 4

Substituindo F'(t) em t=h(x) obtemos
ddxl((f+lambda g)(h(x))r) =l[f'l(h(x)r)+lambda,g'l(h(x)r)r]cdot h'(x)

Resposta

l((f+lambda g)circ hr)'(x) =l[f'(h(x))+lambda,g'(h(x))r],h'(x)

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