QUESTÃO 1 - Cálculo de integrais triplas em regiões não retangulares Na prova vai ser só uma alternativa desse tipo.
\quad \mathrm{I}=\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \int_{x-y}^{x+y} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\int_{\,x-y}^{\,x+y}x\;dz\,dy\,dx.
Conteúdo: integrais triplas em regiões não retangulares via integração iterada (Teorema de Fubini). Vamos integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Mantenho x e y fixos e faço a integral em z:
\int_{z=x-y}^{x+y}x\;dz = x\bigl[z\bigr]_{x-y}^{x+y} = x\bigl((x+y)-(x-y)\bigr) =2xy.

Passo 3

Substituo em y e calculo
\int_{0}^{x}2xy\;dy =2x\int_{0}^{x}y\;dy =2x\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x} =x\cdot x^{2} =x^{3}.

Passo 4

Finalmente, integro em x:
\int_{0}^{2}x^{3}\;dx =\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} =\frac{16}{4} =4.

Resposta

I=4

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