QUESTÃO 1 - Cálculo de integrais triplas em regiões não retangulares Na prova vai ser só uma alternativa desse tipo.
\quad \mathrm{I}=\int_{0}^{1} \int_{x}^{x^{2}} \int_{x-2 y}^{2 x-y} y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I = \int_{0}^{1} \int_{x}^{x^{2}} \int_{\,x-2y}^{\,2x-y} y \,dz\,dy\,dx
numa região não retangular, integrando em z primeiro, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z, lembrando que y é tratado como constante:
\int_{x-2y}^{2x-y} y\,dz = y\bigl[(2x-y)-(x-2y)\bigr] = y\,(x+y).

Passo 3

Agora fazemos a integral em y:
\int_{x}^{x^{2}}\bigl(xy + y^{2}\bigr)\,dy = \left[\frac{x\,y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x}^{y=x^{2}}.
No ponto y=x^{2} obtemos \frac{x\,(x^{2})^{2}}{2} + \frac{(x^{2})^{3}}{3} = \frac{x^{5}}{2} + \frac{x^{6}}{3},
e em y=x obtemos \frac{x\cdot x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{5\,x^{3}}{6}. Logo o resultado é
\frac{x^{5}}{2} + \frac{x^{6}}{3} \;-\;\frac{5\,x^{3}}{6}.

Passo 4

Fica então
I = \int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x^{5}}{2} + \frac{x^{6}}{3} - \frac{5\,x^{3}}{6}\Bigr)\,dx.
Calculamos a primitiva:
\int \frac{x^{5}}{2}\,dx = \frac{x^{6}}{12},\quad \int \frac{x^{6}}{3}\,dx = \frac{x^{7}}{21},\quad \int \frac{5\,x^{3}}{6}\,dx = \frac{5\,x^{4}}{24}.
Avalia em 0 e 1:
I = \Bigl[\frac{x^{6}}{12} + \frac{x^{7}}{21} - \frac{5\,x^{4}}{24}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{12} + \frac{1}{21} - \frac{5}{24}.

Resposta

I = -\frac{13}{168}.

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