Questão#2: Um capacitor de \mathbf{C = 7 , 5 n F} é carregado por uma fonte de \boldsymbol{\xi}=\mathbf{1 7 , 2 V} e depois de desconectado da fonte, ele é conectado em série a uma bobina de indutância L. O período de oscilação do circuito é de T=6,5 \times 10^{-5} \mathrm{~s}. Calcule: (i) A indutância L da bobina; (ii) A carga máxima Q_{0} no capacitor; (iii) A corrente máxima I_{\text {máx }}á no circuito. Dica: A energia é conservada!
(i) \mathrm{L}=
(ii) \mathrm{Q}=
(iii) I_{\text {máx }}=á

Passo 1

O enunciado descreve um circuito LC livre, onde um capacitor de C=7{,}5\\ \mathrm{nF} é carregado a uma tensão \xi=17{,}2\\ \mathrm V e depois conectado a uma bobina de indutância L, provocando oscilações elétricas de período T=6{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm s.
Conteúdo necessário: fórmula do período de um circuito LC e conservação de energia eletromagnética.

Passo 2

O período das oscilações de um circuito LC é dado por
T = 2\pi\sqrt{L\,C}.
Despejando L, temos
L = \biggl(\frac{T}{2\pi}\biggr)^{2}\frac{1}{C}.
Substituindo T=6{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm s e C=7{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm F,
L = \biggl(\frac{6{,}5\times10^{-5}}{2\pi}\biggr)^{2}\frac{1}{7{,}5\times10^{-9}} \approx0{,}0143\\ \mathrm H.

Passo 3

A carga máxima no capacitor, imediatamente após o carregamento, é
Q_{0} = C\,\xi = 7{,}5\times10^{-9}\times17{,}2 =1{,}29\times10^{-7}\\ \mathrm C.

Passo 4

Pela conservação de energia, a energia inicial no capacitor \tfrac12C\xi^{2} passa para a bobina \tfrac12LI_{\max}^{2} quando a corrente é máxima. Assim,
\frac12C\,\xi^{2}=\frac12L\,I_{\max}^{2} \quad\Longrightarrow\quad I_{\max}=\xi\sqrt{\frac{C}{L}}.
Substituindo os valores,
I_{\max} =17{,}2\sqrt{\frac{7{,}5\times10^{-9}}{0{,}0143}} \approx1{,}25\times10^{-2}\\ \mathrm A.

Resposta

(i) L=0{,}0143\\ \mathrm H
(ii) Q_{0}=1{,}29\times10^{-7}\\ \mathrm C
(iii) I_{\max}=1{,}25\times10^{-2}\\ \mathrm A

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