Um solenoide toroidal tem raio médio igual a 0,2[\mathrm{~m}] e área da seção reta igual a 40,0\left[\mathrm{~cm}^{2}\right]. A permeabilidade magnética relativa do núcleo é 400 e a corrente no enrolamento é 20,0 [A]. Quantas espiras deve ter o enrolamento para que a energia armazenada seja igual a 0,5[\mathrm{~J}] ?

Passo 1

O enunciado descreve um solenoide toroidal de raio médio r=0{,}2\,[\mathrm{m}], área da seção reta A=40{,}0\,[\mathrm{cm}^2], permeabilidade relativa do núcleo \mu_r=400 e corrente no enrolamento I=20{,}0\,[\mathrm{A}]. Pede-se o número de espiras N para que a energia armazenada seja U=0{,}5\,[\mathrm{J}]. O conteúdo envolve a relação entre energia em um indutor e a indutância de um toroide.

Passo 2

Primeiro convertemos a área para metros quadrados e calculamos a permeabilidade absoluta do núcleo:
A = 40{,}0\,[\mathrm{cm}^2] = 40{,}0\times10^{-4}\,[\mathrm{m}^2] = 4{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m}^2.
\mu = \mu_0\,\mu_r = (4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m})\times400 = 1{,}6\times10^{-4}\,\pi\;\mathrm{H/m}.

Passo 3

A energia armazenada em um indutor é
U = \frac12\,L\,I^2.
Isolando L,
L = \frac{2\,U}{I^2} = \frac{2\times0{,}5}{(20{,}0)^2} = \frac{1{,}0}{400} = 2{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{H}.

Passo 4

Para um toroide a indutância é dada por
L = \frac{\mu\,N^2\,A}{2\pi\,r}.
Desse modo,
N^2 = \frac{L\,(2\pi\,r)}{\mu\,A} \quad\Longrightarrow\quad N = \sqrt{\frac{L\,(2\pi\,r)}{\mu\,A}}.
Substituindo os valores:
N = \sqrt{\frac{(2{,}5\times10^{-3})\,(2\pi\times0{,}2)}{(1{,}6\times10^{-4}\pi)\,(4{,}0\times10^{-3})}} \approx \sqrt{1{,}56\times10^{3}} \approx 39{,}5.

Resposta

Aproximadamente 40 espiras.

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