Questão 7 - Uma característica de interesse em uma população é modelada por uma v.a. com a distribuição de probabilidade a seguir:
f(x)=l x18, 0<x<4 0, caso contrário á
Calcule a mediana e a amplitude interquartílica da característica X.
R: respectivamente, 2 raiz2 e 2(raiz3-1).

Passo 1

O exercício pede para calcular a mediana e a amplitude interquartílica (IQR) de uma v.a. contínua X com densidade
f(x)= dfracx8,&0<x<4, 0,&caso contrário á
Conteúdo: distribuições contínuas, função de distribuição acumulada (CDF) e quantis.
O que vamos usar:
  • Cálculo de F(x)=P(X<= x)=integral0^x f(t),dt.
  • Definição de mediana: F(m)=0.5.
  • Definição de quartis: F(Q1)=0.25 e F(Q3)=0.75.
  • A amplitude interquartílica é Q3 - Q1.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a CDF F(x).
Por definição, para 0<x<4:
F(x)=integral0^xt8,dt =18integral0^xt,dt =18,l[t^22r]0^x =x^216
Para x<=0, F(x)=0. Para x>=4, F(x)=1.

Passo 3

Agora, a mediana m satisfaz F(m)=0.5.
m^216=0.5 Longrightarrow m^2=8 Longrightarrow m=2raiz2

Passo 4

O primeiro quartil Q1 é tal que F(Q1)=0.25:
Q1^216=0.25 Longrightarrow Q1^2=4 Longrightarrow Q1=2

Passo 5

O terceiro quartil Q3 vem de F(Q3)=0.75:
Q3^216=0.75 Longrightarrow Q3^2=12 Longrightarrow Q3=2raiz3

Passo 6

Finalmente, a amplitude interquartílica (IQR) é
IQR=Q3 - Q1 =2raiz3-2 =2l(raiz3-1r)

Resposta

Mediana: 2raiz2
Amplitude interquartílica: 2(raiz3-1)

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