Questão 6-O tempo decorrido, em anos, até que uma opção de compra seja exercida, é uma v.a. X com a seguinte distribuição de probabilidade:
. A opção vence em 2 anos, por isso
assume valores entre 0 e 2 . Qual é:
a) o valor esperado do tempo até a opção ser exercida?
b) o desvio padrão do tempo até a opção ser exercida?
c) a probabilidade:
) de levar mais de 1 ano para a opção ser exercida?
) de levar mais de 1 ano para a opção ser exercida, sabendose que leva menos do que 1 ano e 3 meses?
d) a mediana do tempo até a opção ser exercida?
e) a moda do tempo até a opção ser exercida?
a) o valor esperado do tempo até a opção ser exercida?
b) o desvio padrão do tempo até a opção ser exercida?
c) a probabilidade:
d) a mediana do tempo até a opção ser exercida?
e) a moda do tempo até a opção ser exercida?
Passo 1
Então, o enunciado diz que o tempo até exercer uma opção é uma v.a. contínua X com densidade
para
e zero fora.
Conteúdo: Probabilidade Contínua – a gente vai usar
Conteúdo: Probabilidade Contínua – a gente vai usar
- normalização de densidade (
), - fórmula de valor esperado e variância,
- probabilidade condicional,
- CDF para mediana,
- derivada de
para moda.
Passo 2
A gente começa achando
pela normalização
Agora
Logo
Passo 3
Valor esperado (média):
Lembra que
é tipo a média ponderada da densidade.
Passo 4
Primeiro
:
Variância e desvio padrão:
Passo 5
Probabilidade
:
Passo 6
Probabilidade condicional
Calculando cada uma com a CDF parcial
então
Passo 7
Mediana
: é o ponto que satisfaz
Resolvendo dá a equação
, e a única raiz em
é
.
Passo 8
Moda: máxima de
. Fazemos
Resposta
a)
b)
c₁)
c₂)
d) mediana
e) moda
b)
c₁)
c₂)
d) mediana
e) moda