Questão 6-O tempo decorrido, em anos, até que uma opção de compra seja exercida, é uma v.a. X com a seguinte distribuição de probabilidade: f(x)=k(4 x-2 x^2), 0<x<2. A opção vence em 2 anos, por isso X assume valores entre 0 e 2 . Qual é:
a) o valor esperado do tempo até a opção ser exercida?
b) o desvio padrão do tempo até a opção ser exercida?
c) a probabilidade:
c1 ) de levar mais de 1 ano para a opção ser exercida?
c2 ) de levar mais de 1 ano para a opção ser exercida, sabendose que leva menos do que 1 ano e 3 meses?
d) a mediana do tempo até a opção ser exercida?
e) a moda do tempo até a opção ser exercida?

Passo 1

Então, o enunciado diz que o tempo até exercer uma opção é uma v.a. contínua X com densidade
f(x)=k,(4x-2x^2) para 0<x<2 e zero fora.
Conteúdo: Probabilidade Contínua – a gente vai usar
  • normalização de densidade ( integral f=1),
  • fórmula de valor esperado e variância,
  • probabilidade condicional,
  • CDF para mediana,
  • derivada de f para moda.

Passo 2

A gente começa achando k pela normalização
integral0^2 f(x),dx =1 ;Longrightarrow; integral0^2 k(4x-2x^2),dx=1 ;Longrightarrow; kintegral0^2(4x-2x^2),dx=1
Agora
integral0^2(4x-2x^2),dx =l[2x^2-tfrac23x^3r]0^2 =8-tfrac163 =tfrac83
Logo
k;tfrac83=1 Longrightarrow k=tfrac38

Passo 3

Valor esperado (média):
E[X] =integral0^2 x,f(x),dx =38integral0^2(4x^2-2x^3),dx =38l[tfrac43x^3-tfrac12x^4r]0^2 =38l(tfrac323-8r) =1
Lembra que E[X] é tipo a média ponderada da densidade.

Passo 4

Primeiro E[X^2]:
E[X^2] =integral0^2 x^2f(x),dx =38integral0^2(4x^3-2x^4),dx =38l[x^4-tfrac25x^5r]0^2 =38l(16-tfrac645r) =65
Variância e desvio padrão:
Var(X) =E[X^2]-(E[X])^2 =65-1^2 =15, sigma=raizVar(X)=raiztfrac15

Passo 5

Probabilidade P(X>1):
P(X>1) =integral1^2 f(x),dx =38integral1^2(4x-2x^2),dx =38l[2x^2-tfrac23x^3r]1^2 =12

Passo 6

Probabilidade condicional
P(X>1mid X<5/4) =P(1<X<5/4)P(X<5/4)
Calculando cada uma com a CDF parcial
integral1^5/4f(x),dx=47256, integral0^5/4f(x),dx=175256,
então
P(X>1mid X<5/4) =47256175256 =47175approx0,2686

Passo 7

Mediana m: é o ponto que satisfaz
F(m)=integral0^m f(x),dx =38l[2m^2-tfrac23m^3r]=0,5
Resolvendo dá a equação m^3-3m^2+2=0, e a única raiz em (0,2) é m=1.

Passo 8

Moda: máxima de f(x). Fazemos
f'(x)=k(4-4x)=0 ;Longrightarrow; x=1 (checa,f''<0, é máximo) éá

Resposta

a) E[X]=1
b) sigma=raiztfrac15approx0,4472
c₁) P(X>1)=tfrac12
c₂) P(X>1mid X<5/4)=tfrac47175approx0,2686
d) mediana =1
e) moda =1

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