Questão 7 - Uma carga positiva gera um campo elétrico em um ponto A .
a) Determine a direção e o sentido do campo.
b) Como seria se a carga fosse negativa?
c) Explique usando o conceito de linhas de campo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Dá: “uma carga positiva gera um campo elétrico em um ponto A”. Não há números nem posição específica, só que a carga é pontual (implícito) e o ponto de interesse é A.
  • Pede:
    (a) determinar a direção e o sentido do campo elétrico em A;
    (b) dizer como seria se a carga fosse negativa;
    (c) explicar usando o conceito de linhas de campo.
  • Informações relevantes a serem usadas (retiradas do enunciado): a carga é pontual e é positiva (no item a). Para o item (b) consideramos a carga com sinal negativo. Nada mais é fornecido.

Passo 2

O que é o campo elétrico e fórmula básica (a “ferramenta” que vamos usar).
  • Definição física curta: o campo elétrico em um ponto é a força por unidade de carga de prova colocada ali. Matematicamente, se uma carga pontual q está em \mathbf{r}_q e queremos o campo em \mathbf{r}_A, a expressão da Lei de Coulomb é
\mathbf{E}(\mathbf{r}_A)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{\big|\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q\big|^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante);
  • q é a carga que gera o campo (pode ser positiva ou negativa);
  • \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q é o vetor que vai da posição da carga até o ponto A;
  • \hat{\mathbf{r}} é o versor (vetor unitário) na direção de \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q, isto é
\hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q}{\big|\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q\big|}.
  • Interpretação da fórmula: o módulo do campo vale \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{|q|}{r^2} com r=\big|\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q\big|, e a direção vem do versor \hat{\mathbf{r}} multiplicado pelo sinal de q.

Passo 3

Como determinar direção e sentido na prática (receita passo a passo).
  1. Localize geometricamente a carga (posição \mathbf{r}_q) e o ponto A (posição \mathbf{r}_A).
  2. Forme o vetor \mathbf{r}=\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q. Esse vetor aponta do centro da carga para o ponto A.
  3. Calcule o versor \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}. Esse versor dá a direção (reta) do campo.
  4. Olhe o sinal de q:
    • Se q>0, \mathbf{E} tem a mesma orientação de \hat{\mathbf{r}}: o campo aponta no mesmo sentido que \mathbf{r} (afastando-se da carga).
    • Se q<0, \mathbf{E} tem sentido oposto a \hat{\mathbf{r}}: o campo aponta no sentido de -\hat{\mathbf{r}} (apontando para a carga).
  5. O módulo do campo é \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{|q|}{r^2}, então quanto maior r menor o campo; isto também explica a densidade das linhas de campo (ver passo de linhas).
Exemplo concreto (para “ver com os olhos”): suponha a carga q no ponto \mathbf{r}_q=(0,0) e A em \mathbf{r}_A=(2,1) (em metros). Então
\mathbf{r}=(2,1),\qquad |\mathbf{r}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5},
\hat{\mathbf{r}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1).
  • Se q>0, \mathbf{E} aponta na direção \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1) (para fora, para a posição (2,1));
  • Se q<0, \mathbf{E} aponta em -\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1) (para dentro, em direção a (0,0)).

Passo 4

Resposta detalhada ao item (a): carga positiva
  • Direção: é radial, isto é, ao longo da reta que une a carga ao ponto A. Em fórmulas,
\text{direção:}\qquad \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q}{\big|\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q\big|}.çã
  • Sentido: para fora da carga (afastando-se da carga). Em termos vetoriais, como q>0,
\mathbf{E}(\mathbf{r}_A)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{\big|\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q\big|^2}\,\hat{\mathbf{r}},
portanto o campo aponta no sentido de \hat{\mathbf{r}}.

Passo 5

Resposta detalhada ao item (b): carga negativa
  • Direção: também radial (mesma reta que une a carga ao ponto A), ou seja, a direção geométrica é a mesma que no caso positivo.
  • Sentido: agora aponta para a carga (ou seja, na direção de -\hat{\mathbf{r}}). Em fórmulas, com q<0,
\mathbf{E}(\mathbf{r}_A)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{\big|\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q\big|^2}\,\hat{\mathbf{r}},
como q é negativo, o vetor fica no sentido oposto a \hat{\mathbf{r}}.

Passo 6

Explicação por linhas de campo (item c) — conceito e propriedades importantes
  • O que é uma linha de campo: é uma linha imaginária tal que, em cada ponto da linha, a tangente indica a direção do vetor campo \mathbf{E} naquele ponto. As setas sobre as linhas mostram o sentido do campo.
  • Para uma carga puntiforme:
    • As linhas de campo são retas que saem radialmente do ponto onde está a carga (são linhas radiais).
    • Se a carga é positiva, as linhas “emergem” da carga e vão para o infinito (ou até encontrarem cargas negativas): setas apontando para fora.
    • Se a carga é negativa, as linhas “convergem” para a carga: setas apontando para dentro.
  • Densidade de linhas: a quantidade de linhas por ângulo sólido (ou por unidade de área perpendicular) representa o módulo do campo. Mais linhas → campo mais intenso. Isso corresponde ao fato de que |\mathbf{E}|\propto\dfrac{|q|}{r^2}.
  • Regras úteis sobre linhas de campo:
    • Linhas nunca se cruzam (em um ponto só, o campo teria duas direções).
    • Linhas começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas (ou no infinito, se não houver carga de sinal oposto).
    • A direção tangente à linha em um ponto é a direção do vetor \mathbf{E} naquele ponto.
  • Intuição visual rápida: para uma carga positiva imagine “espinhas” saindo radialmente; para negativa imagine “setas” todas apontando para o centro.

Passo 7

Como usar isso na prova (dicas práticas e rápidas)
  • Passo 1: desenhe a carga e marque A.
  • Passo 2: trace a reta que une a carga a A.
  • Passo 3: se a carga é positiva, desenhe a seta ao longo dessa reta apontando para A a partir da carga (sentido “para fora”); se for negativa a seta aponta do ponto A para a carga (sentido “para dentro”).
  • Para obter o módulo, use \displaystyle |\mathbf{E}|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{|q|}{r^2} com r a distância carga–A.
  • Dica de memorização simpática: “positiva empurra (sai), negativa puxa (entra)”.

Resposta

(a) Direção radial ao longo da reta que une a carga a A; sentido: para fora da carga (afastando-se da carga).
(b) Direção radial (mesma reta); sentido: para a carga (apontando para o centro).
(c) Linhas de campo são linhas cujas tangentes dão a direção de \mathbf{E}; para uma carga pontual positiva elas emanam radialmente para fora, para uma carga negativa elas convergem radialmente para dentro; a densidade de linhas indica o módulo do campo.

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