Questão 1

Um carrinho de 0,500 kg conectado a uma mola leve com constante de força 20,0 N / m oscila em um trilho de ar horizontal, sem atrito. Ele é colocado em movimento a partir de uma posição inicial onde a velocidade inicial é zero.
(A) Calcule a velocidade máxima do carrinho se a amplitude do movimento é de 3,00 cm.
(B) Qual é a velocidade do carrinho quando a posição é 2,00 cm ?
(C) Compute as energias cinéticas e potenciais do sistema quando a posição do carrinho é 2,00 cm.
(D) E se o carrinho fosse liberado da mesma posição, mas com velocidade inicial de v=-0,100 m / s ?
Quais seriam as novas amplitude e velocidade máxima do carrinho?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmônico simples formado por um carrinho de massa m=0,500,kg ligado a uma mola de constante k=20,0,N/m, sem atrito. A amplitude inicial é A=3,00,cm e, no item (D), há também uma velocidade inicial não nula. Vamos usar conservação de energia
E = tfrac12 k A^2 = tfrac12 m v^2 + tfrac12 k x^2
e a frequência angular
omega = raizkm
para determinar velocidades e energias em diferentes posições, bem como a nova amplitude e velocidade máxima quando v0neq0.

Passo 2

Calculamos primeiro a frequência angular e a energia total para as condições iniciais com v0=0 e A=3,00,cm.
omega = raizkm = raiz20,00,500 = raiz40,0 approx 6,32,rad/s
E = tfrac12,k,A^2 = tfrac12,(20,0),(0,03)^2 = 10,0times 9,0times10^-4 = 9,00times10^-3,J

Passo 3

(A) A velocidade máxima ocorre em x=0, onde toda a energia é cinética:
tfrac12,m,vmax^2 = E Longrightarrow vmax = raiz2Em = raiz2,(9,00times10^-3)0,500 approx 0,190,m/s

Passo 4

(B) Quando x=2,00,cm, parte da energia está em potencial e parte em cinética. Aplicando
tfrac12,m,v^2 + tfrac12,k,x^2 = E
v = raiz2ml(E - tfrac12,k,x^2r) = raiz20,500l(9,00times10^-3 - tfrac12cdot20,0cdot0,02^2r) approx 0,141,m/s

Passo 5

(C) Ainda em x=2,00,cm, calculamos
K = tfrac12,m,v^2 = tfrac12cdot0,500cdot(0,141)^2 approx 4,99times10^-3,J
U = tfrac12,k,x^2 = tfrac12cdot20,0cdot(0,02)^2 = 4,00times10^-3,J

Passo 6

(D) Agora o carrinho parte de x0=3,00,cm com v0=-0,100,m/s. A energia inicial é
E' = tfrac12,k,x0^2 + tfrac12,m,v0^2 = 10,0cdot(0,03)^2 + 0,25cdot(0,10)^2 = 9,00times10^-3 + 2,50times10^-3 = 1,15times10^-2,J
A nova amplitude A' vem de E' = tfrac12,k,A'^2:
A' = raiz2E'k = raiz2,(1,15times10^-2)20,0 approx 0,0339,m = 3,39,cm
e a nova velocidade máxima
v'max = omega,A' approx 6,32cdot0,0339 approx 0,215,m/s

Resposta

(A) vmaxapprox0,190,m/s
(B) v(2,00,cm)approx0,141,m/s
(C) K(2,00,cm)approx4,99times10^-3,J, U(2,00,cm)approx4,00times10^-3,J
(D) A'approx3,39,cm, v'maxapprox0,215,m/s

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