Questão 3. Determine se a função possui assíntota horizontal:
f(x)=\frac{2 x}{x+5}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\frac{2x}{x+5}
possui assíntota horizontal. Em geral, assíntotas horizontais são dadas por
y=L
onde
L=\lim_{x\to+\infty}f(x)
ou
L=\lim_{x\to-\infty}f(x).
Vamos, portanto, calcular esses dois limites.

Passo 2

Para calcular
\lim_{x\to+\infty}f(x)
dividimos numerador e denominador por x. Assim,
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{x+5} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{1+\tfrac{5}{x}} =2
já que \tfrac{5}{x}\to0 quando x\to+\infty.

Passo 3

Para calcular
\lim_{x\to-\infty}f(x)
aplicamos o mesmo procedimento:
\lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{x+5} =\lim_{x\to-\infty}\frac{2}{1+\tfrac{5}{x}} =2
pois também \tfrac{5}{x}\to0 quando x\to-\infty.

Passo 4

Como os dois limites no infinito coincidem em 2, concluímos que a função tem assíntota horizontal na reta
y=2.

Resposta

y=2

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