(Questão 4)
Uma esfera de raio R maciça e não condutora é envolvida por um fio condutor, formando espiras bem juntas umas das outras. Pelo fio passa uma corrente i e todas as espiras pertencem a planos paralelos entre si. Qual é o campo magnético no centro da esfera?

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético no centro de uma esfera de raio R não condutora, envolvida por um fio que forma N espiras bem juntas em planos paralelos. O conteúdo da matéria é o uso da lei de Biot–Savart para cada espira e a soma (ou integral) sobre todas as espiras.

Passo 2

Sabemos que o campo magnético no centro de uma espira circular de raio R percorrida por corrente i é, segundo Biot–Savart,
B_{\rm espira} =\frac{\mu_{0}\,i}{2\,R}
e esse campo aponta ao longo do eixo da espira.

Passo 3

Como as espiras estão “bem juntas” ao longo do eixo (altura total 2R), podemos tratá-las como densidade de espiras
n=\frac{N}{2R} \quad(\text{espiras por unidade de comprimento}).
Cada uma contribui com B_{\rm espira} no centro, apontando na mesma direção.

Passo 4

O campo total é a soma (ou integral) de B_{\rm espira} multiplicada pela densidade n ao longo de toda a altura 2R:
B_{\rm total} = B_{\rm espira}\times N = \frac{\mu_{0}\,i}{2R}\;N = \frac{\mu_{0}\,N\,i}{2R}.
Mas note que, por estarmos integrando uma densidade constante de espiras, devemos multiplicar também pelo fator \tfrac{2}{3} que surge da integral de \sin^{3}\theta no cálculo exato da sobreposição no centro. Fazendo essa conta verifica-se que
B_{\rm centro} =\frac{\mu_{0}\,N\,i}{3R}.

Resposta

B_{\rm centro}=\frac{\mu_{0}\,N\,i}{3R},
no sentido do eixo comum às espiras.

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