Questão 5 (CESPE - TCE/PE - 2017). Situação hipotética: Uma instituição financeira emprestou a uma empresa \mathrm{R} \ 100.000,00 quantia entregue no ato, sem prazo de carência, a ser paga em cinco prestações anuais iguais, consecutivas, pelo sistema francês de amortização. A taxa de juros contratada para o empréstimo foi deêçõêçãé10 %$ ao ano, e a primeira prestação deverá ser paga um ano após a tomada do empréstimo.
Assertiva: Se o valor das prestações for de \mathrm{R} \ 26.380 , 00 a soma total dos juros que deverão ser pagos pela empresa, incluídos nas cinco parcelas do financiamento, é inferior aãíé\mathrm{R} $31.500,00$.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Quantia emprestada (principal): P= \mathrm{R}\$\,100.000,00.
  • Número de prestações: n=5 prestações anuais, iguais e consecutivas.
  • Sistema: sistema francês de amortização (prestações constantes).
  • Taxa de juros: i=10\% ao ano, ou seja i=0,10.
  • A primeira prestação ocorre um ano após o empréstimo.
  • Foi dada a hipótese de que o valor de cada prestação é \mathrm{R}\$\,26\,380{,}00.
O que a assertiva pede que verifiquemos:
  • Se, quando as prestações valem \mathrm{R}\$\,26\,380{,}00, a soma total dos juros incluídos nas cinco parcelas é inferior a \mathrm{R}\$\,31\,500{,}00.

Passo 2

Breve explicação didática do sistema francês (anuidades) — fórmula da prestação constante:
  • No sistema francês, a prestação anual constante A que amortiza um principal P em n períodos a uma taxa i por período é dada por
A = P \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}.
  • Aqui: P é o valor inicial do empréstimo, i é a taxa por período (em forma decimal) e n é o número de prestações. A fórmula vem do fato de que o valor presente das prestações iguais A deve ser igual ao principal P.
Cálculo curto só para conferir que A teórico bate com o 26\,380 dado:
  • Calculemos (1+i)^n com i=0,10 e n=5:
(1+i)^5 = 1{,}1^5 = 1{,}61051.
  • Numerador da fração: i(1+i)^n = 0{,}10\times1{,}61051 = 0{,}161051.
  • Denominador: (1+i)^n - 1 = 1{,}61051 - 1 = 0{,}61051.
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A = 100\,000 \cdot \frac{0{,}161051}{0{,}61051} \approx 100\,000 \cdot 0{,}263797\ldots \approx 26\,379{,}735\ldots
ou seja, A\approx \mathrm{R}\$\,26\,379{,}74, que arredondado para reais é \mathrm{R}\$\,26\,380{,}00. Portanto o valor de prestação dado no enunciado é compatível com a fórmula (é o arredondamento para o real).

Passo 3

Cálculo da soma total paga ao longo das 5 prestações (usando o valor informado no enunciado \mathrm{R}\$\,26\,380{,}00):
\text{Total pago} = n\cdot A = 5 \cdot 26\,380 = 131\,900.

Passo 4

Cálculo do total de juros pagos (juros totais = total pago − principal):
\text{Juros totais} = 131\,900 - 100\,000 = 31\,900.

Passo 5

Comparação com a quantia da assertiva:
  • A assertiva afirma que os juros totais são inferiores a \mathrm{R}\$\,31\,500{,}00.
  • Calculamos juros totais iguais a \mathrm{R}\$\,31\,900{,}00, que é maior que \mathrm{R}\$\,31\,500{,}00.
Observação adicional para robustez: usando o valor exato calculado pela fórmula ( A\approx 26\,379{,}735), o total pago seria 5\cdot26\,379{,}735\approx131\,898{,}675 e os juros totais seriam \approx31\,898{,}675, que também é maior que 31\,500. Ou seja, o resultado independe do arredondamento: os juros totais excedem 31\,500.

Resposta

Falsa

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