Questão 5 (CESPE - TCE/PE - 2017). Situação hipotética: Uma instituição financeira emprestou a uma empresa
100.000,00
10 %$ ao ano, e a primeira prestação deverá ser paga um ano após a tomada do empréstimo.
Assertiva: Se o valor das prestações for de
26.380
\mathrm{R} $31.500,00$.
Assertiva: Se o valor das prestações for de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Quantia emprestada (principal):
. - Número de prestações:
prestações anuais, iguais e consecutivas. - Sistema: sistema francês de amortização (prestações constantes).
- Taxa de juros:
ao ano, ou seja . - A primeira prestação ocorre um ano após o empréstimo.
- Foi dada a hipótese de que o valor de cada prestação é
.
O que a assertiva pede que verifiquemos:
- Se, quando as prestações valem
, a soma total dos juros incluídos nas cinco parcelas é inferior a .
Passo 2
Breve explicação didática do sistema francês (anuidades) — fórmula da prestação constante:
- No sistema francês, a prestação anual constante
que amortiza um principal em períodos a uma taxa por período é dada por
- Aqui:
é o valor inicial do empréstimo, é a taxa por período (em forma decimal) e é o número de prestações. A fórmula vem do fato de que o valor presente das prestações iguais deve ser igual ao principal .
Cálculo curto só para conferir que
teórico bate com o
dado:
- Calculemos
com e :
- Numerador da fração:
. - Denominador:
. - Logo
ou seja,
, que arredondado para reais é
. Portanto o valor de prestação dado no enunciado é compatível com a fórmula (é o arredondamento para o real).
Passo 3
Cálculo da soma total paga ao longo das
prestações (usando o valor informado no enunciado
):
Passo 4
Cálculo do total de juros pagos (juros totais = total pago − principal):
Passo 5
Comparação com a quantia da assertiva:
- A assertiva afirma que os juros totais são inferiores a
. - Calculamos juros totais iguais a
, que é maior que .
Observação adicional para robustez: usando o valor exato calculado pela fórmula (
), o total pago seria
e os juros totais seriam
, que também é maior que
. Ou seja, o resultado independe do arredondamento: os juros totais excedem
.
Resposta
Falsa