Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
O produto de duas matrizes inversíveis é sempre inversível.

Passo 1

O enunciado pede para discriminar se é verdadeiro ou falso que “o produto de duas matrizes inversíveis é sempre inversível”. O conteúdo envolvido é a definição de matriz inversível e a propriedade de inversão de produtos de matrizes.

Passo 2

Suponha que A e B sejam duas matrizes quadradas do mesmo tamanho e que ambas sejam invertíveis. Então existem matrizes A^-1 e B^-1 tais que
A,A^-1 = A^-1A = I
e
B,B^-1 = B^-1B = I,
onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos mostrar que B^-1A^-1 é a inversa de AB. Primeiro verificamos
(AB)(B^-1A^-1) = A,(B B^-1),A^-1 = A,I,A^-1 = A,A^-1 = I

Passo 4

Em seguida, para completar a definição de inversa, verificamos o produto na ordem inversa:
(B^-1A^-1)(AB) = B^-1,(A^-1A),B = B^-1,I,B = B^-1B = I

Passo 5

Como (AB)(B^-1A^-1) = I e (B^-1A^-1)(AB) = I, concluímos que AB é invertível e
(AB)^-1 = B^-1A^-1

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois o inverso do produto AB é dado por (AB)^-1 = B^-1A^-1.

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