Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
O produto de duas matrizes inversíveis é sempre inversível.
O produto de duas matrizes inversíveis é sempre inversível.
Passo 1
O enunciado pede para discriminar se é verdadeiro ou falso que “o produto de duas matrizes inversíveis é sempre inversível”. O conteúdo envolvido é a definição de matriz inversível e a propriedade de inversão de produtos de matrizes.
Passo 2
Suponha que
e
sejam duas matrizes quadradas do mesmo tamanho e que ambas sejam invertíveis. Então existem matrizes
e
tais que
e
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos mostrar que
é a inversa de
. Primeiro verificamos
Passo 4
Em seguida, para completar a definição de inversa, verificamos o produto na ordem inversa:
Passo 5
Como
e
, concluímos que
é invertível e
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois o inverso do produto
é dado por
.