Questão 7: Considere
e
subespaços vetoriais de
.
a. Encontre bases para
e
. Determine
e
.
b. Complete a base de
encontrada no item (a) para uma base de
.
b. Encontre bases para
e
. Determine
e
.
c.
? Justifique.
d. Determine um subsespaço
de
tal que
.
a. Encontre bases para
b. Complete a base de
b. Encontre bases para
c.
d. Determine um subsespaço
Passo 1
O enunciado define os subespaços
e
e pede: (a) bases e dimensões de
e
; (b) completar base de
para
; (c) base e dimensão de
e
; (d) verificar se
; (e) achar
tal que
.
Passo 2
Para
temos duas equações:
e
. Logo podemos tomar como parâmetros
e
. Então
e
Assim uma base de
é
e
.
Passo 3
Para
temos a única equação
, ou seja
. Tomando parâmetros
,
,
,
logo
Portanto uma base de
é
e
.
Passo 4
Para completar a base de
a uma base de
, basta escolher um vetor não em
. Por exemplo
não satisfaz
. Assim
é base de
.
Passo 5
Para
Das duas primeiras vem . Substituindo na terceira:
Fica só
livre, então
com
.
Passo 6
Usando a fórmula de Grassmann,
logo
. Uma base de
pode ser obtida tomando a base de
e acrescentando um vetor de
fora de
, por exemplo
. Assim
é base de
.
Passo 7
Como
, não temos
, portanto
não é soma direta, ou seja
.
Passo 8
Para achar um complemento
de
em
, basta escolher dois vetores que completem a dimensão e intersectem
só no zero. Note que
e se tomarmos
então qualquer vetor de
tem a forma
. Para estar em
precisaríamos
e
, forçando
. Logo
e
, de modo que
Resposta
Base de
:
,
.
Base de :
,
.
Extensão a : adicionar
.
Base de :
,
.
Base de :
,
.
Não é soma direta: .
Um complemento de é
Base de
Extensão a
Base de
Base de
Não é soma direta:
Um complemento de
pois
.