Questão 7: Considere V=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0, z=t e W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y-z+t=0 subespaços vetoriais de R^4.
a. Encontre bases para U e V. Determine dim(V) e dim(U).
b. Complete a base de U encontrada no item (a) para uma base de R^4.
b. Encontre bases para U cap W e U+W. Determine dim(U cap W) e dim(U+W).
c. R^4=U oplus W ? Justifique.
d. Determine um subsespaço S de R^4 tal que R^4=S oplus V.

Passo 1

O enunciado define os subespaços
V = (x,y,z,t)in R^4 mid x+y=0,;z=t
e
U = (x,y,z,t)in R^4 mid x - y - z + t = 0
e pede: (a) bases e dimensões de U e V; (b) completar base de U para R^4; (c) base e dimensão de Ucap V e U+V; (d) verificar se R^4=Uoplus V; (e) achar S tal que R^4=Soplus V.

Passo 2

Para V temos duas equações: x+y=0 e z-t=0. Logo podemos tomar como parâmetros s=x e u=t. Então
y=-s, z=u
e
(x,y,z,t) = (s,-s,,u,,u) = s,(1,-1,0,0) ;+; u,(0,0,1,1)
Assim uma base de V é
(1,-1,0,0),;(0,0,1,1),
e dim(V)=2.

Passo 3

Para U temos a única equação x - y - z + t=0, ou seja x=y+z-t. Tomando parâmetros s=y, u=z, v=t,
x=s+u-v,
logo
(x,y,z,t)=(s+u-v,s,u,v) = s,(1,1,0,0)+u,(1,0,1,0)+v,(-1,0,0,1)
Portanto uma base de U é
(1,1,0,0),;(1,0,1,0),;(-1,0,0,1),
e dim(U)=3.

Passo 4

Para completar a base de U a uma base de R^4, basta escolher um vetor não em U. Por exemplo (1,0,0,0) não satisfaz x-y-z+t=0. Assim
(1,1,0,0),,(1,0,1,0),,(-1,0,0,1),,(1,0,0,0)
é base de R^4.

Passo 5

Para
Das duas primeiras vem . Substituindo na terceira:
Fica só livre, então
com .

Passo 6

Usando a fórmula de Grassmann,
dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(Ucap V)=3+2-1=4,
logo U+V= R^4. Uma base de U+V pode ser obtida tomando a base de U e acrescentando um vetor de V fora de U, por exemplo (1,-1,0,0). Assim
(1,1,0,0),,(1,0,1,0),,(-1,0,0,1),,(1,-1,0,0)
é base de U+V.

Passo 7

Como dim(Ucap V)=1neq0, não temos Ucap V=0, portanto
R^4 = U+V
não é soma direta, ou seja R^4neq Uoplus V.

Passo 8

Para achar um complemento S de V em R^4, basta escolher dois vetores que completem a dimensão e intersectem V só no zero. Note que
V=(s,-s,u,u)
e se tomarmos
S=span(1,1,0,0),,(0,0,1,-1),
então qualquer vetor de S tem a forma (a,a,b,-b). Para estar em V precisaríamos a=-a e -b=b, forçando a=b=0. Logo Scap V=0 e
dim(S)=2, de modo que
R^4 = Soplus V

Resposta

Base de V: (1,-1,0,0),,(0,0,1,1), dim(V)=2.
Base de U: (1,1,0,0),,(1,0,1,0),,(-1,0,0,1), dim(U)=3.
Extensão a R^4: adicionar (1,0,0,0).
Base de Ucap V: (0,0,1,1), dim(Ucap V)=1.
Base de U+V: (1,1,0,0),,(1,0,1,0),,(-1,0,0,1),,(1,-1,0,0), dim(U+V)=4.
Não é soma direta: R^4neq Uoplus V.
Um complemento de V é
S=span(1,1,0,0),,(0,0,1,-1),
pois R^4=Soplus V.

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