Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Se
é um subespaço vetorial de dimensão 3, então todo conjunto com 2 vetores de
é L.I.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que “seja
um subespaço vetorial com
, então todo conjunto com 2 vetores de
é linearmente independente (L.I.)”. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais: dimensão e independência linear. Para resolver, vamos lembrar a definição de independência linear e apresentar um contraexemplo.
Passo 2
Lembrando que um conjunto
é L.I. se, sempre que
com
, isso implica
. A dimensão de
é o tamanho máximo de um conjunto L.I. em
, mas isso só garante que não existam mais de 3 vetores L.I. em
, e não que qualquer conjunto com menos de 3 vetores seja L.I.
Passo 3
Para ver que a afirmação é falsa, basta achar dois vetores em
que sejam linearmente dependentes. Como
tem dimensão 3, escolhemos um vetor não-nulo qualquer
Definimos
Ambos estão em
pois é subespaço. Mas
com
, mostrando que
é linearmente dependente.
Resposta
Falsa.
Justificativa: em qualquer espaço vetorial de dimensão 3 podemos escolher dois vetores colineares (por exemplo, e
), que formam um conjunto linearmente dependente.
Justificativa: em qualquer espaço vetorial de dimensão 3 podemos escolher dois vetores colineares (por exemplo,