Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Se W é um subespaço vetorial de dimensão 3, então todo conjunto com 2 vetores de W é L.I.

Passo 1

O enunciado afirma que “seja W um subespaço vetorial com dim(W)=3, então todo conjunto com 2 vetores de W é linearmente independente (L.I.)”. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais: dimensão e independência linear. Para resolver, vamos lembrar a definição de independência linear e apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Lembrando que um conjunto u1,u2subset W é L.I. se, sempre que
alpha1,u1 + alpha2,u2 = 0
com alpha1,alpha2inK, isso implica alpha1=alpha2=0. A dimensão de W é o tamanho máximo de um conjunto L.I. em W, mas isso só garante que não existam mais de 3 vetores L.I. em W, e não que qualquer conjunto com menos de 3 vetores seja L.I.

Passo 3

Para ver que a afirmação é falsa, basta achar dois vetores em W que sejam linearmente dependentes. Como W tem dimensão 3, escolhemos um vetor não-nulo qualquer
vin W, vneq0
Definimos
u1 = v, u2 = 2,v
Ambos estão em W pois é subespaço. Mas
2,u1 + (-1),u2 = 2v - 2v = 0
com (2,-1)neq(0,0), mostrando que u1,u2 é linearmente dependente.

Resposta

Falsa.
Justificativa: em qualquer espaço vetorial de dimensão 3 podemos escolher dois vetores colineares (por exemplo, v e 2v), que formam um conjunto linearmente dependente.

Exercícios relacionados