Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Se
geram o subespaço vetorial
, então
também geram
.
Se
Passo 1
O enunciado fala sobre conjuntos geradores de um subespaço vetorial
. Sabemos que um conjunto
gera
se todo
pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Queremos ver se ao trocar
por
, isto é, usar
, continuamos gerando exatamente o mesmo
.
Passo 2
Para mostrar que
gera
, basta verificar que cada vetor de
pode ser expresso como combinação linear de
. Em particular,
e claramente
Logo, todo gerador original
está no span de
.
Passo 3
Como
gera
, qualquer
é
Substituindo
, obtemos
que é combinação linear de
. Portanto todo
está no span do novo conjunto.
Passo 4
Mostramos que
expressa todos os vetores de
, e que todo
sai como combinação linear do novo conjunto. Logo
Resposta
A afirmação é verdadeira.