Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Se v1, v2, v3 geram o subespaço vetorial W, então v1+v2, v2, v3 também geram W.

Passo 1

O enunciado fala sobre conjuntos geradores de um subespaço vetorial W. Sabemos que um conjunto v1,v2,v3 gera W se todo win W pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Queremos ver se ao trocar v1 por v1+v2, isto é, usar v1+v2,;v2,;v3, continuamos gerando exatamente o mesmo W.

Passo 2

Para mostrar que v1+v2,v2,v3 gera W, basta verificar que cada vetor de v1,v2,v3 pode ser expresso como combinação linear de v1+v2,v2,v3. Em particular,
v1 = (v1+v2) - v2,
e claramente
v2 = 0cdot (v1+v2) + 1cdot v2 + 0cdot v3, v3 = 0cdot (v1+v2) + 0cdot v2 + 1cdot v3
Logo, todo gerador original v1,v2,v3 está no span de v1+v2,v2,v3.

Passo 3

Como v1,v2,v3 gera W, qualquer win W é
w = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3
Substituindo v1 = (v1+v2)-v2, obtemos
w = a1l((v1+v2)-v2r) + a2 v2 + a3 v3 = a1 (v1+v2) + (a2 - a1)v2 + a3 v3,
que é combinação linear de v1+v2,v2,v3. Portanto todo win W está no span do novo conjunto.

Passo 4

Mostramos que v1+v2,v2,v3 expressa todos os vetores de v1,v2,v3, e que todo win W sai como combinação linear do novo conjunto. Logo
spanv1+v2,v2,v3 =spanv1,v2,v3=W

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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