Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Qualquer subconjunto de um conjunto de vetores LD é um conjunto LD.
Qualquer subconjunto de um conjunto de vetores LD é um conjunto LD.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: “Qualquer subconjunto de um conjunto de vetores linearmente dependente é linearmente dependente”. O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais e vamos usar a definição de dependência e independência para avaliar essa afirmação.
Passo 2
Definição importante: um conjunto de vetores
é linearmente dependente se existem escalares, nem todos nulos, tais que uma combinação linear deles dá o vetor zero. Já um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os escalares são zero.
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta dar um contraexemplo. Considere o conjunto
Note que
é linearmente dependente porque podemos escolher escalares não todos nulos, por exemplo
e
, de modo que
Agora considere o subconjunto
Para esse conjunto
, qualquer combinação
só ocorre se
. Logo,
é linearmente independente.
Passo 4
Como encontramos um conjunto
linearmente dependente que possui um subconjunto
linearmente independente, a afirmação “qualquer subconjunto de um conjunto linearmente dependente é linearmente dependente” é falsa.
Resposta
Falsa.