Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Qualquer subconjunto de um conjunto de vetores LD é um conjunto LD.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: “Qualquer subconjunto de um conjunto de vetores linearmente dependente é linearmente dependente”. O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais e vamos usar a definição de dependência e independência para avaliar essa afirmação.

Passo 2

Definição importante: um conjunto de vetores S é linearmente dependente se existem escalares, nem todos nulos, tais que uma combinação linear deles dá o vetor zero. Já um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os escalares são zero.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta dar um contraexemplo. Considere o conjunto
S = (1,0),,(2,0) subset R^2
Note que S é linearmente dependente porque podemos escolher escalares não todos nulos, por exemplo 2 e -1, de modo que
2,(1,0) + (-1),(2,0) = (2,0) + (-2,0) = (0,0)
Agora considere o subconjunto
T = (1,0)
Para esse conjunto T, qualquer combinação a,(1,0) = (0,0) só ocorre se a=0. Logo, T é linearmente independente.

Passo 4

Como encontramos um conjunto S linearmente dependente que possui um subconjunto T linearmente independente, a afirmação “qualquer subconjunto de um conjunto linearmente dependente é linearmente dependente” é falsa.

Resposta

Falsa.

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