Sejam U=(lla & b c & d) rvert, a-b+c=0 e W=[(ll1 & 2 1 & 0),(ll0 & 1 1 & 1),(ll1 & 0 0 & 0)] dois subespaços vetoriais de M2(R).
a. Determine uma base e a dimensão de U cap W.
b. Seja v=(cc3 & 4 1 & -2), verifique se v in U cap W.
c. Dizemos que V oplus W=M2(R) (soma direta), se V+W=M2(R) e V cap W=0. Determine um subespaço vetorial V de M2(R) tal que V oplus W=M2(R).

Passo 1

O enunciado trata de subespaços de :
  • ,
  • com
Pedem:
a) base e dimensão de .
b) verificar se pertence a .
c) encontrar subespaço tal que .

Passo 2

Vamos escrever um elemento genérico de W como combinação linear
alpha W1 + beta W2 + gamma W3 = alpha 1 & 2 1 & 0 + beta 0 & 1 1 & 1 + gamma 1 & 0 0 & 0 = alpha + gamma & 2alpha + beta [6pt] alpha + beta & beta
Chamando esse genérico de a & b c & d, temos
a = alpha + gamma, b = 2alpha + beta, c = alpha + beta, d = beta ]

Passo 3

Para estar em , além de pertencer a esse mesmo deve satisfazer . Substituindo:
Logo para todo elemento de .

Passo 4

Com temos
Assim uma base de é
e
.

Passo 5

Verificamos se v=3&41&-2 está em Ucap W.
1. Pertence a U?
Calcule a-b+c=3-4+1=0. Satisfeito, então vin U.
2. Pertence a W?
Queremos alpha,beta,gamma tais que
alpha+gamma=3,;2alpha+beta=4,;alpha+beta=1,;beta=-2.
Da quarta equação beta=-2. Da terceira alpha=1-beta=1-(-2)=3.
Então 2alpha+beta=6-2=4 e alpha+gamma=3 gamma=0.
Logo v=3W1-2W2+0,W3, está em W e com gamma=0 também em Ucap W.
Portanto vin Ucap W.

Passo 6

Sabemos dim W=3 (os três geradores são independentes em R^4) e dim M2(R)=4. Para ter soma direta Voplus W=M2(R) precisamos dim V=1 e Vcap W=0. Basta escolher um vetor que não esteja em W.
Por exemplo, tome
X=0&1-1&0
Se existisse alpha,beta,gamma com
alpha+gamma=0,;2alpha+beta=1,;alpha+beta=-1,;beta=0
isto levaria a beta=0, alpha=-1 e depois 2(-1)+0=-2neq1, contradição. Logo Xnotin W.

Resposta

a) Uma base de é
com .
b) Sim, .
c) Por exemplo,
satisfaz .

Exercícios relacionados