Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Se W é um subespaço vetorial de dimensão 3, então todo conjunto com 4 vetores de W é L.D.

Passo 1

O enunciado diz que W é um subespaço vetorial com dim(W)=3 e pergunta se qualquer conjunto de 4 vetores em W é necessariamente linearmente dependente. O conteúdo aqui é a relação entre dimensão de um espaço vetorial e a dependência linear de conjuntos de vetores.

Passo 2

Lembramos que a definição de dimensão diz que em W existem exatamente 3 vetores que formam uma base: são linearmente independentes e todo vetor de W é combinação linear deles. Em particular, não existe conjunto de mais de 3 vetores linearmente independentes em W.

Passo 3

Usamos o teorema fundamental sobre dimensão:
Em um espaço vetorial de dimensão n, todo conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente çãé

Passo 4

Aqui temos n=3 e um conjunto de 4 vetores em W. Como 4>3, pelo teorema acima esse conjunto não pode ser linearmente independente, ou seja, é linearmente dependente.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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