Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Se
é um subespaço vetorial de dimensão 3, então todo conjunto com 4 vetores de
é L.D.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é um subespaço vetorial com
e pergunta se qualquer conjunto de 4 vetores em
é necessariamente linearmente dependente. O conteúdo aqui é a relação entre dimensão de um espaço vetorial e a dependência linear de conjuntos de vetores.
Passo 2
Lembramos que a definição de dimensão diz que em
existem exatamente 3 vetores que formam uma base: são linearmente independentes e todo vetor de
é combinação linear deles. Em particular, não existe conjunto de mais de 3 vetores linearmente independentes em
.
Passo 3
Usamos o teorema fundamental sobre dimensão:
Passo 4
Aqui temos
e um conjunto de 4 vetores em
. Como
, pelo teorema acima esse conjunto não pode ser linearmente independente, ou seja, é linearmente dependente.
Resposta
A afirmação é verdadeira.