Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Se u, v, w é LI, então u-v, v-w, u-w é LI.

Passo 1

O enunciado pergunta se, a partir de três vetores u,v,w linearmente independentes (LI), a nova tripla ,u-v,;v-w,;u-w também será LI. O conteúdo envolve o conceito de independência linear e como testar se um conjunto é dependente ou não.

Passo 2

Lembrando que um conjunto x,y,z é LI se a única solução do sistema
alpha,x+beta,y+gamma,z=0
é alpha=beta=gamma=0. Caso exista alguma solução não trivial, o conjunto é linearmente dependente (LD).

Passo 3

Vamos buscar coeficientes alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha,(u-v);+;beta,(v-w);+;gamma,(u-w);=;0
Basta testar alpha=1, beta=1 e gamma=-1. Então
1cdot(u-v)+1cdot(v-w)-1cdot(u-w) =(u-v)+(v-w)-(u-w) =u - v + v - w - u + w =0
Achamos, portanto, uma combinação não trivial que dá o vetor zero.

Passo 4

Como existe essa relação não trivial, a tripla u-v,;v-w,;u-w é LD, independentemente de u,v,w ser LI.

Resposta

Falsa.

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