Uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} primeiro faz uma reflexão em torno do eixo dos x_{1} e, depois, faz uma reflexão em torno do eixo x_{2}. Mostre que T também pode ser descrita como uma rotação em torno da origem. Qual é o ângulo de rotação?

Passo 1

O enunciado diz que T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 faz primeiro uma reflexão em torno do eixo x_1 (eixo x) e depois uma reflexão em torno do eixo x_2 (eixo y). Queremos mostrar que essa composição é uma rotação em torno da origem e determinar o ângulo dessa rotação. O conteúdo que vamos usar é a representação matricial de reflexões e a composição de transformações lineares.

Passo 2

Vamos escrever as matrizes das duas reflexões no sistema de coordenadas canônico.
A reflexão em torno do eixo x_1 troca (x_1,x_2) em (x_1,-x_2), logo sua matriz é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Em seguida, a reflexão em torno do eixo x_2 troca (x_1,x_2) em (-x_1,x_2), cuja matriz é
B = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

A transformação T é a composição “primeiro A, depois B”, ou seja, T = B \cdot A. Vamos calcular
B \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1)\\[6pt] 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Portanto, para todo vetor v \in \mathbb{R}^2,
T(v) = -I \cdot v = -v.
]

Passo 4

Multiplicar por -I em \mathbb{R}^2 corresponde a girar todo vetor em torno da origem de modo que \cos\theta = -1 e \sin\theta = 0. Isso é exatamente uma rotação de ângulo \pi (ou 180^\circ) em sentido anti-horário.

Resposta

O operador T é uma rotação em torno da origem de ângulo \pi (ou 180^\circ).

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