Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} primeiro faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal (eixo dos x_{1} ) e, depois, faz uma reflexão em relação à reta x_{2}=x_{1}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz canônica de T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida como a composição de duas reflexões: primeiro uma reflexão em relação ao eixo horizontal (eixo de x_1) e depois uma reflexão em relação à reta x_2 = x_1. O conteúdo usado aqui é teoria de transformações lineares e matrizes de reflexão na base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

A reflexão em relação ao eixo horizontal inverte a segunda coordenada e mantém a primeira. Na base canônica \{e_1,e_2\} essa transformação tem matriz
A_h = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\,.

Passo 3

A reflexão em relação à reta x_2 = x_1 troca as duas coordenadas. Na base canônica, sua matriz é
A_r = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.

Passo 4

Como T faz primeiro A_h e depois A_r, a matriz buscada é
A \;=\; A_r\,A_h \;=\; \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot0 + 1\cdot(-1)\\\\ 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot0 + 0\cdot(-1) \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Essa matriz envia (1,0) em (0,1) e (0,1) em (-1,0), equivalendo a uma rotação de 90^\circ no sentido anti-horário, o que faz sentido combinando as duas reflexões.

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

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