Questão 2. Classifique as equações diferencias ordinárias em EDO de variáveis separadas ou EDO de variáveis separáveis e resolva-as.
d x=\left(\frac{1}{y^{2}}+\frac{3}{y}\right) d y)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO na forma
l(xcos(x^2)-5x^3r),dx = l(tfrac1y^2+tfrac3yr),dy
Isso é um caso clássico de EDO de variáveis separáveis: a função de x multiplica dx e a função de y multiplica dy. Para resolver, basta separar as variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Identificamos
M(x)=xcos(x^2)-5x^3, N(y)=1y^2+3y,
de modo que
M(x),dx = N(y),dy
Como já está separada, partimos para a integração de cada lado.

Passo 3

Integramos ambos os lados adicionando uma constante C:
integral l(xcos(x^2)-5x^3r),dx = integral l(tfrac1y^2+tfrac3yr),dy + C

Passo 4

Calcular o integral em x:
Para integral xcos(x^2),dx, fazemos u=x^2, du=2x,dx, logo
integral xcos(x^2),dx =tfrac12integral cos(u),du =tfrac12sin(u) =tfrac12sin(x^2)
E
integral -5x^3,dx =-5cdotx^44 =-54x^4
Logo
integral l(xcos(x^2)-5x^3r),dx =12sin(x^2)-54x^4

Passo 5

Calcular o integral em y:
integral 1y^2,dy =integral y^-2,dy =-y^-1 =-1y,
integral 3y,dy =3lnl|yr|
Portanto
integral l(tfrac1y^2+tfrac3yr),dy =-1y+3lnl|yr|

Passo 6

Igualando as duas antiderivadas, obtemos a solução geral implícita:
12sin(x^2)-54x^4 = -1y+3lnl|yr|+C

Resposta

A equação é de variáveis separáveis e sua solução geral (implícita) é
12sin(x^2)-54x^4 +1y -3lnl|yr| =C,
onde C é a constante de integração.

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