Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
x d yd x-y(ln (yx)+1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
xdydx-yl(lnl(tfracyxr)+1r)=0
Esse tipo de equação é redutível a variável separável por meio da substituição
u = yx
Vamos usar essa transformação para simplificar.

Passo 2

Definindo
y = u x Longrightarrow dydx = u + xdudx
Substituindo em x,dy/dx obtemos
xdydx = xl(u + xdudxr) = xu + x^2dudx

Passo 3

Voltando à equação original,
xdydx-yl(ln(u)+1r)=0 ;Longrightarrow; xu + x^2dudx - u xl(ln(u)+1r)=0
Agrupando termos:
x^2dudx + xu - u xln(u) - u x =0 ;Longrightarrow; x^2dudx =u xln(u)
Dividindo por x e por uln(u):
duuln(u) = dxx

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral duuln(u) = integral dxx
Para a integral à esquerda, fazemos t=ln(u), de modo que dt = du/u. Assim
integral duuln(u) = integral dtt = lnl|ln(u)r| + C
E à direita
integral dxx = ln|x| + C'
Igualando (absorvendo constantes em uma só C):
lnl|ln(u)r| = ln|x| + C

Passo 5

Exponenciando,
l|ln(u)r| = K,|x|,
onde K=e^C pode ter sinal qualquer. Eliminando o valor absoluto pelo sinal de K, escrevemos
ln(u) = K,x
Logo
u = e^Kx Longrightarrow yx=e^Kx ;Longrightarrow; y = x,e^Kx,
com K constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
boxedy = x,e^C x,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados