Questão 2. Classifique e resolva as seguintes equações:
y^{\prime}=\frac{x+2 y}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y' = \frac{x + 2y}{x}
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem, linear não homogênea. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo
y' = \frac{x + 2y}{x} = 1 + \frac{2y}{x}
subtraímos \tfrac{2y}{x} de ambos os lados para obter a forma
y' - \frac{2}{x}\,y = 1.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) \quad\text{com}\quad P(x) = -\frac{2}{x}.
Logo,
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-2\ln|x|) = x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{-2}, obtendo
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x^{-2}.
O lado esquerdo é a derivada de x^{-2}y, portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}y\bigr) = x^{-2}.
Integramos em x:
x^{-2}y = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x^2, vem
y = -x + Cx^2,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A general solução é
y(x) = -x + Cx^2,\quad x\neq 0.

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