Questão 3. Verique que as seguintes equações são exatas e resolva.
\left(3 x^{2}+y\right) d x+(x+4) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(3x^{2}+y\bigr)\,dx + (x+4)\,dy = 0
e pede para verificar que ela é exata e resolvê-la. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas: precisamos checar se existem funções M(x,y) e N(x,y) tais que
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata e então encontrar a função potencial \varphi(x,y) cuja diferencial total anula essa combinação.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 3x^{2} + y \quad\text{e}\quad N(x,y) = x + 4.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1,
como são iguais, a equação é de fato exata.

Passo 3

Como é exata, existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y) = 3x^{2}+y.
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(3x^{2}+y\bigr)\,dx = x^{3} + x\,y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=x+4. Assim
x + h'(y) = x + 4 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 4 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = 4y.

Passo 5

Substituindo em \varphi, obtemos a função potencial
\varphi(x,y) = x^{3} + x\,y + 4y.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
\varphi(x,y) = C \;\;\Longrightarrow\;\; x^{3} + (x+4)\,y = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^{3} + (x+4)\,y = C

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