Questão 3. Verique que as seguintes equações são exatas e resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar que ela é exata e resolvê-la. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas: precisamos checar se existem funções
e
tais que
é exata e então encontrar a função potencial
cuja diferencial total anula essa combinação.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
como são iguais, a equação é de fato exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
e igualamos a
. Assim
Passo 5
Substituindo em
, obtemos a função potencial
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
com
constante arbitrária.