Questão 2. Classifique e resolva as seguintes equações:
y^{\prime}=2 y^{2}-y

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver a equação diferencial
y' = 2y^2 - y.
Este é um problema de EDO de primeira ordem; vamos identificar o tipo de EDO e em seguida encontrar sua solução geral, usando separação de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Para classificar, notamos que a equação não depende de x explicitamente, ou seja, é uma EDO autônoma. Além disso, podemos reescrevê-la como
\frac{dy}{dx} = 2y^2 - y = y\,(2y - 1),
logo é também separável. As soluções constantes (pontos de equilíbrio) vêm de 2y^2 - y = 0, dando
y=0 \quad\text{ou}\quad y=\tfrac12.

Passo 3

Para achar a solução não constante, separe as variáveis:
\frac{dy}{y\,(2y-1)} = dx.
Decompomos em frações parciais:
\frac{1}{y\,(2y-1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{2y-1}.
Temos
1 = A(2y-1) + B\,y = (2A + B)\,y - A,
logo
- A = 1 \implies A = -1, \quad 2A + B = 0 \implies B = 2.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(-\frac{1}{y} + \frac{2}{2y-1}\Bigr)\,dy = \int 1\,dx.
No membro esquerdo,
\int -\frac{1}{y}\,dy = -\ln\lvert y\rvert, \quad \int \frac{2}{2y-1}\,dy = \ln\lvert 2y-1\rvert,
portanto
-\ln\lvert y\rvert + \ln\lvert 2y-1\rvert = x + C.
Reunindo os logaritmos:
\ln\Bigl\lvert\frac{2y-1}{y}\Bigr\rvert = x + C.

Passo 5

Exponenciando, escreva K = e^C (constante real não nula):
\frac{2y-1}{y} = K\,e^{\,x} \;\Longrightarrow\; 2 - \frac{1}{y} = K\,e^{\,x} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{y} = 2 - K\,e^{\,x} \;\Longrightarrow\; y(x) = \frac{1}{2 - K\,e^{\,x}}.

Resposta

A equação é uma EDO de primeira ordem, autônoma e separável.
As soluções constantes são
y(x)=0 \quad\text{e}\quad y(x)=\tfrac12.
A família de soluções não constantes é
y(x) = \frac{1}{2 - C\,e^{x}},
onde C é a constante arbitrária.

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