Questão 4. Determine uma solução que satisfaz a condição inicial
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x+\sin y}{x \cos y} e y(1)=\frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede uma solução de
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+\sin y}{x\cos y},
tal que y(1)=\frac{\pi}{6}. Vamos transformar essa EDO para uma equação linear em uma nova variável, usando a substituição u=\sin y.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito em termos de funções trigonométricas conhecidas, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x\cos y} + \frac{\sin y}{x\cos y} = 2\operatorname{sec} y + \frac{1}{x}\tan y.
Multiplicando por \cos y,
\cos y\;\frac{dy}{dx} = 2 + \frac{1}{x}\sin y.

Passo 3

Definimos u=\sin y. Então
\frac{du}{dx} = \cos y\,\frac{dy}{dx},
e a equação fica
\frac{du}{dx} = 2 + \frac{1}{x}\,u.
Isso é uma EDO linear na forma
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}\,u = 2.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(-\!\int \frac{1}{x}dx\Bigr) = \frac{1}{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x),
\frac{1}{x}\frac{du}{dx} - \frac{1}{x^2}u = \frac{2}{x},
que é
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{x}\Bigr) = \frac{2}{x}.
Integrando ambos os lados,
\frac{u}{x} = 2\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad u = x\bigl(2\ln|x| + C\bigr).

Passo 5

Voltando a u=\sin y, obtemos
\sin y = x\bigl(2\ln|x| + C\bigr).
Impondo y(1)=\tfrac{\pi}{6}, temos \sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac12 e \ln1=0, então
\frac12 = 1\cdot(0 + C) \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac12.

Resposta

y(x) = \arcsin\!\Bigl(2x\ln|x| + \tfrac{x}{2}\Bigr),
que satisfaça y(1)=\tfrac{\pi}{6}.

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