Questão 4 Classifique a superfície dada pela equação abaixo. Em seguida, descreva as seções planas obtidas nos planos
e
:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície quádrupla dada por
e, em seguida, descrever as seções planas obtidas nos planos
,
e
.
O conteúdo usado será a classificação de superfícies quadricas (assinatura dos termos quadráticos) e estudo das curvas resultantes ao fixar uma coordenada.
O conteúdo usado será a classificação de superfícies quadricas (assinatura dos termos quadráticos) e estudo das curvas resultantes ao fixar uma coordenada.
Passo 2
Para classificar observamos os coeficientes dos termos quadráticos: há dois termos positivos (
e
) e um negativo (
). Isso corresponde a um hiperbolóide de uma folha cujo eixo principal é o eixo
, pois
é a forma padrão de hiperbolóide de uma folha com duas direções “elípticas” e uma “hiperbólica”.
Passo 3
Seção no plano
: basta substituir
em
ou seja
Como
para todo
, cada seção
é uma elipse.
Passo 4
Seção no plano
: substituindo em
e rearranjando, obtemos
- Se
, temos uma hipérbole (duas variantes: se a incógnita positiva é , senão é ). - Se
( ), a curva degenera num par de retas.
Passo 5
Seção no plano
: de modo análogo, em
vemos que
- Se
, a seção é uma hipérbole. - Se
( ), obtém-se um par de retas.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha de eixo no eixo
.
As seções são:
(a) em , elipses
;
(b) em , hipérboles
(degenerando em retas se
);
(c) em , hipérboles
(degenerando em retas se
).
As seções são:
(a) em
(b) em
(c) em