Questão 4 Classifique a superfície dada pela equação abaixo. Em seguida, descreva as seções planas obtidas nos planos z=k, x=k e y=k :
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{36}=1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície quádrupla dada por
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{36}=1
e, em seguida, descrever as seções planas obtidas nos planos z=k, x=k e y=k.
O conteúdo usado será a classificação de superfícies quadricas (assinatura dos termos quadráticos) e estudo das curvas resultantes ao fixar uma coordenada.

Passo 2

Para classificar observamos os coeficientes dos termos quadráticos: há dois termos positivos ( x^{2}/4 e y^{2}/9) e um negativo ( -z^{2}/36). Isso corresponde a um hiperbolóide de uma folha cujo eixo principal é o eixo z, pois
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{36}=1
é a forma padrão de hiperbolóide de uma folha com duas direções “elípticas” e uma “hiperbólica”.

Passo 3

Seção no plano z=k: basta substituir z=k em
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{k^{2}}{36}=1
ou seja
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1+\frac{k^{2}}{36}\,.
Como 1+\tfrac{k^{2}}{36}>0 para todo k, cada seção z=k é uma elipse.

Passo 4

Seção no plano x=k: substituindo em
\frac{k^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{36}=1
e rearranjando, obtemos
\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{36}=1-\frac{k^{2}}{4}\,.
  • Se 1-\tfrac{k^{2}}{4}\neq0, temos uma hipérbole (duas variantes: se 1-\tfrac{k^{2}}{4}>0 a incógnita positiva é y, senão é z).
  • Se 1-\tfrac{k^{2}}{4}=0 ( k=\pm2), a curva degenera num par de retas.

Passo 5

Seção no plano y=k: de modo análogo, em
\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{36}=1-\frac{k^{2}}{9}
vemos que
  • Se 1-\tfrac{k^{2}}{9}\neq0, a seção é uma hipérbole.
  • Se 1-\tfrac{k^{2}}{9}=0 ( k=\pm3), obtém-se um par de retas.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha de eixo no eixo z.
As seções são:
(a) em z=k, elipses \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9}=1+\tfrac{k^{2}}{36};
(b) em x=k, hipérboles \tfrac{y^{2}}{9}-\tfrac{z^{2}}{36}=1-\tfrac{k^{2}}{4} (degenerando em retas se k=\pm2);
(c) em y=k, hipérboles \tfrac{x^{2}}{4}-\tfrac{z^{2}}{36}=1-\tfrac{k^{2}}{9} (degenerando em retas se k=\pm3).

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