Questão 1 Seja a matriz:
A=\left[\begin{array}{ll} 5 & 4 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right]
a) Calcule os autovalores de A.
b) Encontre um autovetor associado a cada autovalor.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}5 & 4 \\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix}
e pede (a) os autovalores de A e (b) um autovetor associado a cada autovalor.
Conteúdo: uso do polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para achar \lambda e resolução de (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.]

Passo 2

Montamos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}5-\lambda & 4 \\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(1-\lambda)-4\cdot2
\phantom{\det(A-\lambda I)} =5 -5\lambda -\lambda +\lambda^2 -8 =\lambda^2 -6\lambda -3.]

Passo 3

Igualando a zero e resolvendo:
\lambda^2 -6\lambda -3=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 +12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2} =3 \pm 2\sqrt{3}.
Logo os autovalores são
\lambda_1=3+2\sqrt{3} e \lambda_2=3-2\sqrt{3}.

Passo 4

Para \lambda_1=3+2\sqrt{3}, resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0:
\begin{pmatrix} 5-(3+2\sqrt{3}) & 4\\[4pt] 2 & 1-(3+2\sqrt{3}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2-2\sqrt{3} & 4\\[4pt]2 & -2-2\sqrt{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha:
(2-2\sqrt{3})x + 4y =0 \;\Longrightarrow\; y = -\frac{2-2\sqrt{3}}{4}\,x = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\,x.
Escolhendo x=2, temos y=\sqrt{3}-1.
Um autovetor correspondente é
\displaystyle v_1=\begin{pmatrix}2\\sqrt{3}-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2=3-2\sqrt{3}, similarmente:
\begin{pmatrix} 2+2\sqrt{3} & 4\\[4pt] 2 & -2+2\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; (2+2\sqrt{3})x +4y =0
\Longrightarrow\; y = -\frac{2+2\sqrt{3}}{4}\,x = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}\,x.
Tomando x=2, vem y=-(1+\sqrt{3}).
Um autovetor é
\displaystyle v_2=\begin{pmatrix}2\\\ -(1+\sqrt{3})\end{pmatrix}.]

Resposta

a) Os autovalores são
\lambda_1=3+2\sqrt{3} e \lambda_2=3-2\sqrt{3}.
b) Autovetores correspondentes (não únicos) podem ser
v_1 = \begin{pmatrix}2\\sqrt{3}-1\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -(1+\sqrt{3})\end{pmatrix}.

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