Questão 6 Um concentrador solar utiliza uma superfície descrita pela equação:
z=\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{6}
Essa estrutura tem formato simétrico e é usada para focar radiação solar em um ponto elevado acima da base da estrutura.
a) Calcule a altura da superfície z quando x=3 \mathrm{~m} e y=3 \mathrm{~m}.
b) Se a seção for feita com plano horizontal z=9, qual é o tipo de curva gerada? Determine também o raio máximo dessa seção.

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície descrita pela equação
z = \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{6}
que é um paraboloide circular. Na parte (a) vamos calcular o valor de z para valores de x e y dados, e na parte (b) analisar a interseção com o plano horizontal z=9, obtendo a curva de nível correspondente e seu raio máximo.

Passo 2

Para a parte (a), basta substituir x=3 e y=3 em
z = \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{6}.
Temos
z = \frac{3^2}{6} + \frac{3^2}{6} = \frac{9}{6} + \frac{9}{6} = \frac{18}{6} = 3.

Passo 3

Para a parte (b), fazemos a seção por z=9. Igualando
\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{6} = 9
multiplicamos ambos os lados por 6:
x^2 + y^2 = 54.

Passo 4

A equação x^2+y^2=54 em um plano horizontal é a de uma circunferência de raio
r = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Resposta

a) z=3\,\text{m}
b) A curva gerada é uma circunferência de raio 3\sqrt{6}\,\text{m}.

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