Questão 4 - Colisão Angular (Estilo Quebra-Cabeça)
Um pequeno bloco de massa m=0,5 \mathrm{~kg} desliza em linha reta e colide inelasticamente com a borda de uma barra fina homogênea de comprimento L=2,0 \mathrm{~m} e massa M=3,0 \mathrm{~kg}, presa por um pino em seu centro.
(a) Determine o momento de inércia da barra em relação ao pino central.
(b) Calcule o momento angular do bloco antes da colisão em relação ao pino.
(c) Após a colisão, o bloco fica preso na barra. Determine o momento de inércia do sistema.
(d) Use a conservação do momento angular para determinar a velocidade angular da barra + bloco.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=0{,}5\:\mathrm{kg} que atinge inelasticamente a ponta de uma barra fina homogênea de massa M=3{,}0\:\mathrm{kg} e comprimento L=2{,}0\:\mathrm{m}, pivotada em seu centro. Vamos precisar de:
– O momento de inércia da barra em torno do pino central (eixo perpendicular ao plano da barra).
– O momento angular inicial do bloco em relação ao pino (antes da colisão).
– O momento de inércia do sistema barr a+bloco após a colisão (bloco preso na ponta).
– A conservação do momento angular para achar a velocidade angular final \omega.

Passo 2

O momento de inércia de uma barra fina homogênea de comprimento L e massa M em torno de seu centro, com eixo perpendicular ao plano da barra, é dado por
I_{\text{barra}}=\frac{1}{12}\,M\,L^2.
Substituindo M=3{,}0\:\mathrm{kg} e L=2{,}0\:\mathrm{m}, obtemos
I_{\text{barra}}=\frac{1}{12}\times3{,}0\times(2{,}0)^2 =1{,}0\:\mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 3

Antes da colisão, o bloco desliza com velocidade v e sua linha de movimento passa a uma distância r=L/2 do pino. Seu momento angular em relação ao pino é
L_i = r\;p = \frac{L}{2}\,(m\,v) = m\,v\,\frac{L}{2}.
Com m=0{,}5\:\mathrm{kg} e L/2=1{,}0\:\mathrm{m},
L_i = 0{,}5\,v \quad(\mathrm{kg\cdot m^2/s}).

Passo 4

Após a colisão inelástica, o bloco fica preso na ponta da barra, a r=L/2 do eixo. O momento de inércia total é
I_{\text{tot}} = I_{\text{barra}} + m\,r^2 =1{,}0 + 0{,}5\times(1{,}0)^2 =1{,}5\:\mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 5

Como não há torque externo, o momento angular se conserva:
L_i = I_{\text{tot}}\,\omega \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{L_i}{I_{\text{tot}}} = \frac{0{,}5\,v}{1{,}5} = \frac{v}{3}\:\mathrm{rad/s}.

Resposta

(a) I_{\text{barra}}=1{,}0\:\mathrm{kg\cdot m^2}
(b) L_i=0{,}5\,v\:\mathrm{kg\cdot m^2/s}
(c) I_{\text{tot}}=1{,}5\:\mathrm{kg\cdot m^2}
(d) \omega=\dfrac{v}{3}\:\mathrm{rad/s}

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