Questão 3 - Rolo Descendo um Plano Inclinado
Um cilindro maciço de massa M=3,0 \mathrm{~kg} e raio R=0,20 \mathrm{~m} desce rolando sem deslizar por um plano inclinado de altura h=1,5 \mathrm{~m}.
(a) Escreva a conservação da energia mecânica para o sistema.
(b) Lembre que I=\frac{1}{2} M R^{2} e que a condição de rolamento sem deslizamento é v=\omega R.
(c) Substitua as relações e determine a velocidade do centro de massa ao atingir a base do plano.
(d) Calcule a velocidade angular \omega do cilindro nesse instante.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro sólido de massa M=3{,}0 kg e raio R=0{,}20 m que rola sem deslizar descendo uma rampa de altura h=1{,}5 m. O que precisamos usar é a conservação da energia mecânica, o momento de inércia de um cilindro sólido e a condição de rolamento sem deslizamento para encontrar a velocidade do centro de massa ao chegar à base e a respectiva velocidade angular.

Passo 2

Pela conservação da energia mecânica, a energia potencial gravitacional inicial vira energia cinética de translação mais energia cinética de rotação ao chegar embaixo:
M g h \;=\;\tfrac12\,M v^2 \;+\;\tfrac12\,I\,\omega^2.

Passo 3

Sabemos que para um cilindro sólido
I = \tfrac12\,M R^2
e que, sem deslizamento,
v = \omega\,R\quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{v}{R}.

Passo 4

Substituindo I e \omega em função de v na equação da energia:
M g h = \tfrac12\,M v^2 + \tfrac12\bigl(\tfrac12\,M R^2\bigr)\Bigl(\frac{v}{R}\Bigr)^{2} = \tfrac12\,M v^2 + \tfrac14\,M v^2 = \tfrac34\,M v^2.
Logo,
v^2 = \frac{4}{3}\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{4}{3}\,g\,h}.

Passo 5

Numericamente, com g=9{,}8,m/ s^{2} e h=1{,}5,m,
v = \sqrt{\frac{4}{3}\times 9{,}8 \times 1{,}5} = \sqrt{19{,}6} \approx 4{,}43\text{ m/s}.

Passo 6

A velocidade angular correspondente é
\omega = \frac{v}{R} = \frac{4{,}43}{0{,}20} \approx 22{,}1\text{ rad/s}.

Resposta

A velocidade do centro de massa ao atingir a base é aproximadamente 4{,}43 m/s e a velocidade angular é aproximadamente 22{,}1 rad/s.

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