Questão 7:
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de
em um quarto com temperatura constante de
. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de
, determine:
(a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de
.
(b) A temperatura da barra após 10 min .
(a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de
(b) A temperatura da barra após 10 min .
Passo 1
O enunciado coloca uma barra de metal com temperatura inicial de
num ambiente a
. Após
min sua temperatura caiu para
. Queremos (a) o tempo para chegar a
e (b) a temperatura aos
min. O conteúdo envolvido é a Lei de Resfriamento de Newton e vamos precisar montar e resolver a equação diferencial correspondente.
Passo 2
A Lei de Newton diz que a taxa de variação da temperatura
é proporcional à diferença entre a temperatura da barra e a do ambiente, ou seja,
Como
, a equação simplifica para
A solução geral é
Passo 3
Usamos o dado
para achar
:
Passo 4
Para achar o tempo
em que
, resolvemos
Passo 5
Para
, basta substituir
na solução:
Resposta
(a)
min
(b) (aprox.
)
(b)