Questão 7:

Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C} em um quarto com temperatura constante de 0^{\circ} \mathrm{C}. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de 50^{\circ} \mathrm{C}, determine:
(a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}.
(b) A temperatura da barra após 10 min .

Passo 1

O enunciado coloca uma barra de metal com temperatura inicial de 100^{\circ}\mathrm{C} num ambiente a 0^{\circ}\mathrm{C}. Após 20 min sua temperatura caiu para 50^{\circ}\mathrm{C}. Queremos (a) o tempo para chegar a 25^{\circ}\mathrm{C} e (b) a temperatura aos 10 min. O conteúdo envolvido é a Lei de Resfriamento de Newton e vamos precisar montar e resolver a equação diferencial correspondente.

Passo 2

A Lei de Newton diz que a taxa de variação da temperatura T(t) é proporcional à diferença entre a temperatura da barra e a do ambiente, ou seja,
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t) - T_{\text{amb}}\bigr).
Como T_{\text{amb}}=0, a equação simplifica para
\frac{dT}{dt} = -k\,T(t).
A solução geral é
T(t) = T(0)\,e^{-k t} = 100\,e^{-k t}.

Passo 3

Usamos o dado T(20)=50 para achar k:
100\,e^{-20k} = 50 \quad\Longrightarrow\quad e^{-20k} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -20k = \ln\!\bigl(\tfrac12\bigr) = -\ln2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln2}{20}.

Passo 4

Para achar o tempo t_1 em que T(t_1)=25, resolvemos
100\,e^{-k t_1} = 25 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t_1} = 0,25 = \tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad -k\,t_1 = \ln\!\bigl(\tfrac14\bigr) = -\ln4
\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{\ln4}{k} = \frac{\ln4}{(\ln2)/20} = 40\\ \text{min}.

Passo 5

Para T(10), basta substituir t=10 na solução:
T(10) = 100\,e^{-k\cdot10} = 100\,e^{-\frac{\ln2}{20}\,10} = 100\,e^{-\frac{\ln2}{2}} = 100\cdot2^{-\tfrac12} = 50\sqrt{2} \approx 70,71\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) 40 min
(b) 50\sqrt{2}\\ ^\circ\mathrm{C} (aprox. 70,71\\ ^\circ\mathrm{C})

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