Use a transformada de Laplace para resolver cada problema de valor inicial abaixo:
y^{\prime}(t)-y(t)=\cos t, \operatorname{com} y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de valor inicial
y'(t)-y(t)=\cos t,\quad y(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s)
e \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^2+1}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando y(0)=0, temos
\mathcal{L}\{y'\}(s)-\mathcal{L}\{y\}(s) =\mathcal{L}\{\cos t\}(s) \quad\Longrightarrow\quad sY(s)-0 - Y(s)=\frac{s}{s^2+1}.
Logo
Y(s)\,(s-1)=\frac{s}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s}{(s-1)\,(s^2+1)}.

Passo 3

Para inverter Y(s) precisamos decompor em frações parciais. Assumimos
\frac{s}{(s-1)(s^2+1)} =\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^2+1}.

Passo 4

Multiplicando em ambos os lados por (s-1)(s^2+1) e igualando coeficientes em s^2, s e termo constante, obtemos o sistema
A+B=0,\quad C - B=1,\quad A - C=0.
Dessa forma A=C e 2A=1, logo A=\tfrac12, B=-\tfrac12, C=\tfrac12. Assim
Y(s) =\frac{\tfrac12}{s-1} +\frac{-\tfrac12\,s+\tfrac12}{s^2+1} =\frac{1}{2}\,\frac{1}{s-1} -\frac12\,\frac{s}{s^2+1} +\frac12\,\frac{1}{s^2+1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac12/(s-1)\}= \tfrac12e^{t}, \mathcal{L}^{-1}\{-\tfrac12\,s/(s^2+1)\}= -\tfrac12\cos t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac12/(s^2+1)\}= \tfrac12\sin t.
Somando, obtemos
y(t)=\frac12e^{t}-\frac12\cos t+\frac12\sin t.

Resposta

y(t)=\tfrac12e^{t}-\tfrac12\cos t+\tfrac12\sin t

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