Use a transformada de Laplace para resolver cada problema de valor inicial abaixo:
y^{\prime}(t)-y(t)=\cos t, \operatorname{com} y(0)=0.
y^{\prime}(t)-y(t)=\cos t, \operatorname{com} y(0)=0.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de valor inicial
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
,
e .
e
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
, temos
Logo
Passo 3
Para inverter
precisamos decompor em frações parciais. Assumimos
Passo 4
Multiplicando em ambos os lados por
e igualando coeficientes em
,
e termo constante, obtemos o sistema
Dessa forma
e
, logo
,
,
. Assim
Passo 5
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
,
,
.
Somando, obtemos
Somando, obtemos