Questão 3. (Comparação direta e pelo limite) Determine se as séries convergem ou divergem, justificando pelo teste de comparação adequado:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e nos indica usar um teste de comparação (direto ou pelo limite). Esse é um conteúdo de séries numéricas, em particular podemos recorrer ao teste de comparação com séries
.
Passo 2
Para construir a comparação, note que para
grande temos
Logo, como série de referência, tomamos
que é uma série
com
e, portanto,
converge.
Passo 3
Aplicamos o teste de comparação pelo limite entre
e
. Calculamos
Como
e
é convergente, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge (pelo teste de comparação pelo limite com
).