Questão 3. (Comparação direta e pelo limite) Determine se as séries convergem ou divergem, justificando pelo teste de comparação adequado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1}
e nos indica usar um teste de comparação (direto ou pelo limite). Esse é um conteúdo de séries numéricas, em particular podemos recorrer ao teste de comparação com séries p.

Passo 2

Para construir a comparação, note que para n grande temos
\frac{n}{n^{3}+1}\sim \frac{n}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}}.
Logo, como série de referência, tomamos
b_{n} = \frac{1}{n^{2}},
que é uma série p com p=2>1 e, portanto, \sum b_{n} converge.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação pelo limite entre a_{n}=\frac{n}{n^{3}+1} e b_{n}=\frac{1}{n^{2}}. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{n}{n^{3}+1}}{\tfrac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+1} = 1.
Como 0 < L < \infty e \sum b_{n} é convergente, concluímos que \sum a_{n} também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1} converge (pelo teste de comparação pelo limite com \sum 1/n^{2}).

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