Questão 2. (Teste da Raiz) Use o Teste da Raiz para discutir a convergência de:
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n}\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}
e pede para usar o Teste da Raiz (ou Critério da Raiz) para discutir convergência. Vamos aplicar o teste, que diz: se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert},
então a série converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_{n} = \sqrt[n]{n}\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}.
Precisamos calcular
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} =\sqrt[n]{n^{1/n}\,\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}}.

Passo 3

Separamos a raiz em dois fatores:
\sqrt[n]{n^{1/n}} \;\times\;\sqrt[n]{\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}} = n^{1/n^{2}}\;\times\;\tfrac12.
Logo
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} = n^{1/n^{2}} \cdot \tfrac12.

Passo 4

Calculamos o limite de n^{1/n^{2}}. Como
n^{1/n^{2}} = \exp\!\bigl(\tfrac{\ln n}{n^{2}}\bigr) \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}} = 0,
segue
\lim_{n\to\infty}n^{1/n^{2}} = e^{0} = 1.
Portanto
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} = 1 \times \tfrac12 = \tfrac12 < 1.

Passo 5

Como L=\tfrac12<1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge), pois o Critério da Raiz dá L = \tfrac12 < 1.

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